Какие значения x удовлетворяют уравнению sin3x=корень2/2 на заданном интервале?

Volshebnik

39

Для начала, давайте рассмотрим уравнение sin3x = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Чтобы найти значения x, удовлетворяющие этому уравнению на заданном интервале, мы должны найти все углы, значение синуса которых равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Синус является тригонометрической функцией и принимает значения от -1 до 1. Нам известно, что синус 45 градусов равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), поскольку это особое значение, которое мы встречаем часто.

Однако мы должны найти значения x только в заданном интервале. Предположим, что интервал для x задан от 0 до 360 градусов (2π радиан).

Итак, чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению на заданном интервале, мы можем найти все углы, равные 45 градусам, и исключить те из них, которые находятся вне заданного интервала.

Известно, что период синуса составляет 360 градусов (2π радиан). Это означает, что синус повторяется через каждые 360 градусов.

Теперь, чтобы найти остальные углы, равные 45 градусам, мы можем прибавить или вычесть периодические 360 градусов к 45 градусам.

\[
45^\circ, 45^\circ + 360^\circ, \ldots, 45^\circ + k \times 360^\circ
\]

где k - любое целое число.

Таким образом, у нас будут следующие значения x, удовлетворяющие уравнению на заданном интервале:

\[
45^\circ, 45^\circ + 360^\circ, 45^\circ - 360^\circ, 45^\circ + 2 \times 360^\circ, 45^\circ - 2 \times 360^\circ, \ldots
\]

Теперь мы можем проверить значения x для его совместимости с заданным интервалом, который равен [0 градусов, 360 градусов]:

Подставим первое значение x = 45 градусов:

sin3x = sin(3 * 45^\circ) = sin(135^\circ) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Это значение лежит в пределах заданного интервала, поэтому ответом будет x = 45 градусов.

Остальные значения x (45 градусов + 360 градусов, 45 градусов - 360 градусов) прибавляют или вычитают полный период синуса и будут дублировать уже найденные значения.

Итак, единственным значением x, удовлетворяющим уравнению sin3x = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) на заданном интервале [0 градусов, 360 градусов], является x = 45 градусов.