Какие значения x удовлетворяют уравнению sinx⋅cosx=−2–√2sinx?

Сверкающий_Гном

22

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение \(\sin(x) \cdot \cos(x) = -2 - \sqrt{2} \sin(x)\).

Для начала, давайте перенесем все термины на одну сторону уравнения:

\(\sin(x) \cdot \cos(x) + \sqrt{2} \sin(x) + 2 = 0\).

Теперь давайте объединим два слагаемых, содержащих синусы:

\(\sin(x)(\cos(x) + \sqrt{2}) + 2 = 0\).

Для удобства, заметим, что у нас есть общий множитель \(\sin(x)\), и воспользуемся этим фактом:

\(\sin(x)(\cos(x) + \sqrt{2}) = -2\).

Теперь у нас есть два случая для рассмотрения:

1) Если \(\sin(x) = 0\), то мы получаем следующее уравнение:

\(\cos(x) + \sqrt{2} = -2\).

Перенесем \(\sqrt{2}\) на другую сторону:

\(\cos(x) = -2 - \sqrt{2}\).

В данном случае, для некоторых значений \(x\) мы получим решения.

2) Если \(\cos(x) + \sqrt{2} = 0\), то мы получаем следующее уравнение:

\(\cos(x) = -\sqrt{2}\).

Опять же, для некоторых значений \(x\) мы получим решения.

Теперь давайте рассмотрим каждый случай более подробно:

1) Для уравнения \(\cos(x) = -2 - \sqrt{2}\), найдем все значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению.

Обратите внимание, что косинус осциллирует между -1 и 1. Однако -2 - \sqrt{2} само по себе находится за пределами диапазона [-1, 1]. Поэтому в этом случае у наших тригонометрических функций не будет реальных решений, значит уравнение не имеет решений.

2) Для уравнения \(\cos(x) = -\sqrt{2}\), найдем все значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению.

Здесь мы можем использовать основное свойство, что \(\cos(x)\) является функцией, которая равна \(-\sqrt{2}\) при \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

Таким образом, \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - целое число, будет удовлетворять уравнению.

Итак, резюмируя, мы не нашли решений для первого случая, а для второго случая решение будет \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - целое число.