Какие значения x удовлетворяют уравнению cos2x-2+18*3^x-3^x+2*cos2x=0?

Барон

54

Хорошо, давайте решим данное уравнение. Для начала, давайте перепишем его в более удобной форме:

\[ \cos^2 x - 2 + 18 \cdot 3^x - 3^x + 2 \cdot \cos^2 x = 0 \]

Мы можем объединить одинаковые члены:

\[ 3 \cdot \cos^2 x + 17 \cdot 3^x - 3^x - 2 = 0 \]

Теперь расположим все слагаемые, содержащие \(3^x\), рядом:

\[ 3 \cdot \cos^2 x + 16 \cdot 3^x - 2 = 0 \]

Мы видим, что в данном уравнении есть два слагаемых, которые содержат \(3^x\). Давайте объединим их:

\[ 3 \cdot \cos^2 x + 16 \cdot 3^x - 2 = 0 \]

Теперь имеем биквадратное уравнение вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = 0\) и \(c = -2\).

Для решения биквадратного уравнения, давайте введем новую переменную \(t = \cos^2 x\). Тогда уравнение примет вид:

\[ 3t^2 - 2 = 0 \]

Решим это уравнение для переменной \(t\):

\[ t^2 = \frac{2}{3} \]

Теперь возьмем квадратный корень обеих сторон:

\[ t = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \]

Так как \(t = \cos^2 x\), у нас есть два возможных значения:

\[ \cos^2 x = \sqrt{\frac{2}{3}} \quad \text{или} \quad \cos^2 x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \]

Затем возьмем квадратный корень от обоих уравнений:

\[ \cos x = \pm \sqrt{\sqrt{\frac{2}{3}}} \quad \text{или} \quad \cos x = \pm i \sqrt{\sqrt{\frac{2}{3}}} \]

Так как мы решаем уравнение в действительных числах, корни с мнимой единицей (\(i\)) исключаются. Поэтому у нас остается два возможных значения для \(\cos x\):

\[ \cos x = \sqrt{\sqrt{\frac{2}{3}}} \quad \text{или} \quad \cos x = -\sqrt{\sqrt{\frac{2}{3}}} \]

Наконец, чтобы найти значения \(x\), мы можем использовать обратный тригонометрический косинус:

\[ x = \cos^{-1} \left( \sqrt{\sqrt{\frac{2}{3}}} \right) \quad \text{или} \quad x = \cos^{-1} \left( -\sqrt{\sqrt{\frac{2}{3}}} \right) \]

Таким образом, решением данного уравнения будут значения \(x\), найденные с помощью обратного тригонометрического косинуса.

Обратите внимание, что в этом уравнении могут быть и другие решения, которые я не учел в данном подробном решении. Это придется проверить с помощью численного решения или аппроксимации.