Каким образом можно найти решение уравнения, включающего выражение |x-3|+2|x+1|=4?

Валентин

26

Для решения данного уравнения с абсолютными значениями следует разделить его на несколько случаев, в зависимости от знака внутренних выражений.

1. Рассмотрим случай, когда \(x-3\) и \(x+1\) оба положительные:
В этом случае абсолютные значения выражений можно убрать, и уравнение примет вид:
\((x-3) + 2(x+1) = 4\).
Раскроем скобки:
\(x - 3 + 2x + 2 = 4\),
и объединим подобные слагаемые:
\(3x - 1 = 4\).
Теперь избавимся от отрицательного числа на левой стороне, прибавив 1:
\(3x = 5\),
и разделим обе части уравнения на 3:
\(x = \frac{5}{3}\).

2. Рассмотрим случай, когда \(x-3\) и \(x+1\) оба отрицательные:
В этом случае тоже можно убрать абсолютные значения, и уравнение примет вид:
\(- (x-3) - 2(x+1) = 4\).
Раскроем скобки:
\(-x + 3 - 2x - 2 = 4\),
и объединим подобные слагаемые:
\(-3x + 1 = 4\).
Теперь избавимся от положительного числа на правой стороне, вычтя 1:
\(-3x = 3\),
и разделим обе части уравнения на -3 (умножим на -1):
\(x = -1\).

3. Рассмотрим случай, когда \(x-3\) положительное, а \(x+1\) отрицательное:
В этом случае абсолютные значения выражений можно убрать, но возникает разница знаков, поэтому поставим модуль на второе выражение:
\((x-3) + 2| x+1 | = 4\).
Раскроем модуль, выделив два возможных случая:
\((x-3) + 2(x+1) = 4\), когда \(x+1 \geq 0\),
и
\((x-3) - 2(x+1) = 4\), когда \(x+1 < 0\).

Рассмотрим первый случай:
\((x-3) + 2(x+1) = 4\),
\(x - 3 + 2x + 2 = 4\),
\(3x - 1 = 4\),
\(3x = 5\),
\(x = \frac{5}{3}\).

Теперь рассмотрим второй случай:
\((x-3) - 2(x+1) = 4\),
\(x - 3 - 2x - 2 = 4\),
\(-x - 5 = 4\),
\(-x = 9\),
\(x = -9\).

Итак, уравнение \(|x-3|+2|x+1|=4\) имеет два решения: \(x = \frac{5}{3}\) и \(x = -9\).