Какое количество связок получилось после того, как 334 флажка были связаны по 3 штуки? Сколько оставшихся флажков?

Solnechnyy_Svet

69

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Первое, что нам нужно сделать, это определить, сколько всего возможных связок мы можем сделать из 334 флажков по 3 штуки. Для этого мы можем воспользоваться формулой комбинаторики, известной как сочетание без повторений.

Формула сочетания без повторений:
\[{n \choose k} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

где n - общее количество элементов, k - количество элементов, из которых мы выбираем.

В данном случае, у нас есть 334 флажка, и мы выбираем по 3 флажка для каждой связки. Подставим значения в формулу:

\[{334 \choose 3} = \frac{{334!}}{{3!(334-3)!}}\]

Решим данное сочетание:

\[{334 \choose 3} = \frac{{334!}}{{3! \cdot 331!}}\]

Для удобства расчетов, рассчитаем значения факториалов:
\(334! = 334 \cdot 333 \cdot 332 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)
\(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1\)
\(331! = 331 \cdot 330 \cdot 329 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

Подставим значения и рассчитаем:

\[\frac{{334!}}{{3! \cdot 331!}} = \frac{{334 \cdot 333 \cdot 332 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 331 \cdot 330 \cdot 329 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Можем заметить, что большинство чисел сокращаются, оставляя только несколько чисел в числителе и знаменателе:

\[\frac{{334 \cdot 333 \cdot 332}}{{3}} = 334 \cdot 111 \cdot 332\]

Таким образом, получаем, что количество связок, которые мы можем сделать из 334 флажков по 3 штуки, равно \(334 \cdot 111 \cdot 332\).

Теперь рассчитаем количество оставшихся флажков. У нас было 334 флажка, и каждая связка занимает 3 флажка. Посчитаем, сколько связок мы можем сделать и умножим на 3, а затем вычтем это значение из общего количества флажков:

\(334 - (334 \cdot 111 \cdot 332 \cdot 3)\)

Расчитаем эту формулу:

\(334 - 334 \cdot 111 \cdot 332 \cdot 3 = \ldots\)