Какое наибольшее число может быть корнем уравнения, если оба корня являются целыми числами и данное число а является

Vechnyy_Put

30

Данное уравнение имеет вид \(a^2x^2 + ax + 1 - 21a^2 = 0\), где \(a\) является ненулевым параметром, а \(x\) - неизвестной величиной. Чтобы найти наибольшее возможное значение для корня уравнения, сначала рассмотрим его дискриминант. Дискриминант можно вычислить по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = a^2\), \(b = a\), \(c = 1 - 21a^2\).

Подставим значения в формулу дискриминанта и вычислим:
\[D = a^2 - 4(a^2)(1 - 21a^2) = a^2 - 4a^2 + 84a^4 = 84a^4 - 3a^2.\]

Так как мы ищем целочисленные корни уравнения, значение дискриминанта должно быть квадратом целого числа. Далее, найдем наибольшее возможное значение для корня, зная, что дискриминант является квадратом некоторого числа.

\(84a^4 - 3a^2\) должно быть квадратом целого числа. Поэтому \(\sqrt{84a^4 - 3a^2}\) должно быть целым числом.

Из выражения видно, что \(a^2\) будет множителем в обоих членах. Факторизуем это выражение:
\[a^2(84a^2 - 3) = k^2,\]
где \(k\) - целое число.

Для нахождения наибольшего возможного значения \(a\) воспользуемся следующими наблюдениями:
1. Чем больше значение \(a\), тем больше значение \(84a^2 - 3a^2\) и, соответственно, \(\sqrt{84a^4 - 3a^2}\).
2. Для увеличения значения \(a\), необходимо, чтобы \(84a^2 - 3a^2\) было квадратом целого числа.

Мы знаем, что \(\sqrt{81}\) равно 9, поэтому \(84 \cdot 1 - 3 = 81\) и у нас есть один квадратный корень. Проверим, можно ли найти другие натуральные числа, подобные \(1\), для которых \(84a^2 - 3a^2\) является квадратом целого числа.

Подставим \(a = 6\) и получим:
\(84 \cdot 6^2 - 3 \cdot 6^2 = 2508 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 139\).

Значение 2508 не является квадратом целого числа.

Подставим \(a = 7\) и получим:
\(84 \cdot 7^2 - 3 \cdot 7^2 = 3132 = 2^2 \cdot 3 \cdot 521\).

Значение 3132 также не является квадратом целого числа.

Таким образом, мы видим, что наибольшим возможным значением для \(a\) является 1, поскольку это единственное значение, для которого \(84a^2 - 3a^2\) является квадратом целого числа.

Таким образом, наибольшее число, которое может быть корнем данного уравнения, равно 1.