Какое наименьшее целое положительное значение n обеспечит деление An=7+77+777+…+7…7 (последнее слагаемое содержит

Vaska

16

Для решения данной задачи нам потребуется обратить внимание на формулу суммы геометрической прогрессии. Формула для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии имеет следующий вид:

\[S_n = a_1 \frac{{q^n - 1}}{{q - 1}}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии.

В данной задаче каждое слагаемое представляет собой число, состоящее из некоторого количества цифр 7. Мы можем заметить, что это число можно выразить как:

\[7 + 77 + 777 + \ldots + \underbrace{77\ldots7}_\text{n цифр 7} = 7 \cdot \left(10^0 + 10^1 + 10^2 + \ldots + 10^{n-1}\right)\]

Таким образом, мы получаем, что каждое слагаемое является суммой некоторого количества степеней числа 10. Теперь мы можем применить формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[S_n = 7 \cdot \frac{{10^n - 1}}{{10 - 1}} = 7 \cdot \frac{{10^n - 1}}{{9}}\]

Теперь мы хотим, чтобы \(S_n\) было делителем числа 7 + 77 + 777 + ... + 7...7. Значит, нам нужно узнать, при каком наименьшем положительном значении n, число \(S_n\) будет делителем числа \(A_n\).

Чтобы найти такое n, мы можем рассмотреть различные значения n и проверить, является ли \(S_n\) делителем \(A_n\). Мы можем начать с n = 1 и увеличивать его, пока не найдем такое n, при котором \(S_n\) будет делителем \(A_n\).

Найденное нами значение n будет наименьшим положительным значением n, обеспечивающим деление \(A_n\) на \(S_n\).

Начнем проверку различных значений n:

1. При n = 1 имеем \(A_1\) = 7, \(S_1\) = 7. \(S_1\) является делителем \(A_1\).

Таким образом, при n = 1 \(S_n\) является делителем \(A_n\) и это наименьшее значение n, обеспечивающее такое деление.

Ответ: наименьшее целое положительное значение n, обеспечивающее деление \(A_n\) = 7 + 77 + 777 + ... + 7...7 на \(S_n\) = 7 + 77 + 777 + ... + 7...7 равно 1.