Какое наименьшее значение функции f(x)=x^2-8x+17 можно найти на интервале [-1.2]?

Лягушка

54

Хорошо, чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = x^2 - 8x + 17 \) на интервале \([-1, 2]\), мы можем использовать метод завершения квадратного трехчлена или исследовать ветви параболы.

1. Метод завершения квадратного трехчлена:
Для начала, посмотрим на функцию \( f(x) \). Мы можем переписать ее в виде квадратного трехчлена:

\[ f(x) = (x^2 - 8x) + 17 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 17 \]
\[ f(x) = (x - 4)^2 + 1 \]

Заметим, что квадратный трехчлен \((x - 4)^2\) всегда неотрицательный, то есть его значение никогда не станет отрицательным. Следовательно, наименьшее значение функции \( f(x) \) будет равно 1.

Таким образом, минимальное значение функции \( f(x) \) на интервале \([-1, 2]\) равно 1.

2. Исследование ветвей параболы:
Второй способ поиска минимального значения функции состоит в том, чтобы изучить траекторию параболы. Зная, что функция \( f(x) \) является параболой с положительным коэффициентом при \( x^2 \), мы можем сказать, что она открывается вверх, и ее наименьшее значение будет на вершине параболы.

Вершина параболы имеет координаты \((h, k)\), где:

\[ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(1)} = 4 \]
\[ k = f(h) = f(4) = 4^2 - 8(4) + 17 = 1 \]

Таким образом, минимальное значение функции \( f(x) \) на интервале \([-1, 2]\) равно 1.

В итоге, мы получили, что наименьшее значение функции \( f(x) = x^2 - 8x + 17 \) на интервале \([-1, 2]\) равно 1.