Какое наименьшее значение принимает функция f(x)=log1 2(x+1) на данном отрезке?

Мистер_5631

19

Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x+1) \) на данном отрезке, нам нужно сначала определить, на каком интервале функция имеет экстремумы.

Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:
\[ f"(x) = \frac{1}{\ln{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{x+1} = 0 \]

Теперь найдем решение этого уравнения:
\[ \frac{1}{x+1} = 0 \]

Видим, что уравнение не имеет решения, так как делить на ноль нельзя. Значит, наша функция не имеет стационарных точек и экстремумов внутри данного отрезка.

Теперь нам нужно изучить значение функции на границах отрезка. В данной задаче, отрезок не указан, поэтому рассмотрим его на интервалах (-∞; -1) и (-1; +∞).

1. Для интервала (-∞; -1):
Подставим значение -1 в функцию:
\[ f(-1) = \log_{\frac{1}{2}}((-1)+1) = \log_{\frac{1}{2}}(0) \]
Заметим, что логарифм от нуля не определен, поэтому функция на этом интервале не имеет значения.

2. Для интервала (-1; +∞):
Подставим какое-нибудь значение больше -1, например, 0:
\[ f(0) = \log_{\frac{1}{2}}((0)+1) = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0 \]
Поскольку логарифм от 1 по любому основанию равен 0, то функция на этом интервале имеет значение 0.

Итак, при описанном условии задачи, наименьшее значение функции \( f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x+1) \) равно 0 на интервале (-1; +∞).