Какое натуральное значение параметра b приведет к тому, что уравнение будет иметь ровно два корня: x3+12x2−27x−b=0

Mihail

30

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение параметра b, при котором уравнение x^3 + 12x^2 - 27x - b = 0 будет иметь ровно два корня.

Чтобы уравнение имело два корня, его график должен пересечь ось x два раза. То есть, количество корней уравнения связано с количеством пересечений его графика с осью x.

Для начала, давайте построим график уравнения. Это поможет нам визуализировать ситуацию и понять, как параметр b влияет на количество корней:

\[ f(x) = x^3 + 12x^2 - 27x - b \]

Для построения графика, нам нужно найти значения функции при различных значениях x. Однако, для постановки условия поиска двух корней, нам не нужно строить точные значения графика, мы можем использовать общие свойства и требования к уравнению.

Чтобы уравнение имело два корня, график функции должен пересечь ось x дважды. Это будет означать, что функция будет иметь два точных значения, при которых ее значение равно нулю.

Таким образом, чтобы найти значение параметра b, при котором уравнение будет иметь два корня, нам нужно найти значение b, при котором уравнение x^3 + 12x^2 - 27x - b = 0 имеет два решения.

Для этого, воспользуемся теорией графиков и анализа функций. Поскольку мы уже знаем, что график должен пересекать ось x два раза, количество решений будет соответствовать количеству экстремумов функции.

Для нахождения экстремумов, найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю:

\[ f"(x) = 3x^2 + 24x - 27 = 0 \]

Теперь решим это уравнение относительно x:

\[ 3x^2 + 24x - 27 = 0 \]

Используя техники решения квадратных уравнений, получаем следующее:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, a = 3, b = 24, c = -27, поэтому подставим эти значения в формулу:

\[ x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 3 \cdot -27}}{2 \cdot 3} \]

Вычисляя это, мы получаем два значения x, которые являются экстремумами функции.

После нахождения этих значений x, мы можем определить, при каких значениях b график будет пересекать ось x два раза. Если b меньше минимального значения функции или больше максимального значения функции, то уравнение будет иметь либо один, либо ноль корней.

Таким образом, финальный ответ будет зависеть от значения x, полученных из первой производной, и условия, при которых уравнение имеет два корня. Найдите значения x и проверьте, при каких значениях b уравнение будет иметь два корня.

Пожалуйста, вычислите значения x и найдите значения b самостоятельно. Если у Вас возникнут вопросы, не стесняйтесь спрашивать.