Какое свойство имеет функция y = x^-(2n+1)? 1. Она выпукла вниз как при х < 0, так и при х = 0. 2. Она выпукла вниз

  • 23
Какое свойство имеет функция y = x^-(2n+1)?
1. Она выпукла вниз как при х < 0, так и при х = 0.
2. Она выпукла вниз как при х = 0, так и при х > 0.
3. Она выпукла вниз как при х < 0, так и при х > 0.
Sumasshedshiy_Rycar
32
Для начала, давайте разберем свойство функции, которое называется выпуклостью. Функция называется выпуклой вниз, если всякая хорда от любой точки на графике функции до точки перегиба лежит ниже самой функции. Теперь рассмотрим функцию \(y = x^{-(2n+1)}\), где \(n\) - некоторое целое число.

Для определения выпуклости функции необходимо вычислить вторую производную функции и проанализировать ее знак. Если вторая производная положительна, то функция будет выпуклой вниз. Если же вторая производная отрицательна, то функция будет выпуклой вверх.

Чтобы вычислить вторую производную функции \(y = x^{-(2n+1)}\), нам сначала нужно найти первую производную.

Давайте начнем с первой производной:

\[y" = -(2n+1) \cdot x^{-2n-2}\]

Теперь найдем вторую производную функции:

\[y"" = \frac{d}{dx}\left[-(2n+1) \cdot x^{-2n-2}\right]\]

\[y"" = -1 \cdot (2n+1) \cdot (-2n-2) \cdot x^{-2n-3}\]

Упростим выражение:

\[y"" = (2n+1) \cdot (2n+2) \cdot x^{-2n-3}\]

Теперь проанализируем знак второй производной. Заметим, что \(x^{-2n-3}\) всегда положительно, так как основание степени \(x\) всегда положительно, а отрицательный показатель не меняет знак основания.

Таким образом, знак второй производной зависит только от выражения \((2n+1) \cdot (2n+2)\). Это произведение всегда будет положительным, так как умножение двух положительных чисел дает положительный результат.

Итак, мы видим, что вторая производная функции \(y = x^{-(2n+1)}\) всегда положительна. Следовательно, функция \(y = x^{-(2n+1)}\) является выпуклой вниз независимо от значения \(n\).

Таким образом, ответ на задачу состоит в выборе первого варианта: "Она выпукла вниз как при x < 0, так и при x = 0."