Какое уравнение плоскости можно составить при данной точке Р (4, -2; -1) и векторе нормали n (-5;3,-2)?

Chernaya_Roza_593

67

Для того чтобы составить уравнение плоскости при заданной точке \(P(4, -2, -1)\) и векторе нормали \(n(-5, 3, -2)\), нам понадобятся некоторые свойства и формулы.

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид:
\[Ax + By + Cz + D = 0,\]
где \(A\), \(B\), \(C\) - это коэффициенты плоскости, а \(x\), \(y\), \(z\) - координаты точки на плоскости.

Для составления уравнения плоскости нам также понадобится нормальный вектор плоскости. Вектор нормали можно получить из координат \(A\), \(B\), \(C\) следующим образом:
\[\vec{n} = (A, B, C).\]

Для того чтобы найти коэффициенты плоскости, мы будем использовать заданную точку \(P(4, -2, -1)\). Подставим координаты точки \(P\) в уравнение плоскости:
\[A \cdot 4 + B \cdot (-2) + C \cdot (-1) + D = 0.\]

Также, учитывая вектор нормали \(\vec{n}(-5, 3, -2)\), методом замены получаем уравнение:
\[-5 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-1) + D = 0.\]

Решим это уравнение относительно \(D\):
\[-20 + 6 + 2 + D = 0.\]
\[-20 + 8 + D = 0.\]
\[-12 + D = 0.\]
\[D = 12.\]

Теперь, когда у нас есть значение \(D\), мы можем окончательно записать уравнение плоскости:
\[-5x + 3y - 2z + 12 = 0.\]

Итак, уравнение плоскости, которую мы можем составить при заданной точке \(P(4, -2, -1)\) и векторе нормали \(\vec{n}(-5, 3, -2)\), будет иметь вид:
\[-5x + 3y - 2z + 12 = 0.\]