Какое уравнение плоскости проходит через точку А и перпендикулярно вектору ВС, если координаты точки А равны (-4

Морж

16

; 3; 5-x), где x - произвольное число?

Для того чтобы найти уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна вектору ВС, мы можем воспользоваться следующим методом:

1. Найдем направляющий вектор плоскости, который будет перпендикулярен вектору ВС. Для этого вычтем координаты точки В из координат точки С:
\[\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-2+x; 3; 5-x) - (-4; 2; -1) = (2+x; 1; 6-x)\]

2. Уравнение плоскости может быть записано в виде:
\[Ax + By + Cz + D = 0\]

Где A, B и C - координаты направляющего вектора плоскости, а D - коэффициент, который будет определен позже.

3. Так как направляющий вектор ищется перпендикулярным вектору ВС, то скалярное произведение направляющего вектора и вектора ВС должно быть равно нулю:
\[(2+x; 1; 6-x) \cdot (1; 2; -1) = 0\]

Выполним это скалярное произведение:
\((2+x) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (6-x) \cdot (-1) = 0\)
\(2+x + 2 - 6 + x = 0\)
\(3x - 2 = 0\)
\(3x = 2\)
\(x = \frac{2}{3}\)

Таким образом, значение x равно \(\frac{2}{3}\).

4. Теперь у нас есть все необходимые коэффициенты, A, B и C, чтобы записать уравнение плоскости:
\(2+x \cdot x + 1 \cdot y + (6-x) \cdot z + D = 0\)

Подставим найденное значение x:
\(2+\frac{2}{3} \cdot x + y + (6-\frac{2}{3}) \cdot z + D = 0\)
\(2+\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + y + (6-\frac{2}{3}) \cdot z + D = 0\)
\(2+\frac{4}{9} + y + (6-\frac{2}{3}) \cdot z + D = 0\)
\(D = -2-\frac{4}{9} - y - (6-\frac{2}{3}) \cdot z\)

5. Таким образом, окончательное уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, имеет вид:
\((2+x) \cdot x + 1 \cdot y + (6-x) \cdot z - (2+\frac{4}{9} + y + (6-\frac{2}{3}) \cdot z) = 0\)

Подставим найденное значение x:
\((2+\frac{2}{3}) \cdot \frac{2}{3} + y + (6-\frac{2}{3}) \cdot z - (2+\frac{4}{9} + y + (6-\frac{2}{3}) \cdot z) = 0\)
\(\frac{8}{9} + y + (6-\frac{2}{3}) \cdot z - (2+\frac{4}{9} + y + (6-\frac{2}{3}) \cdot z) = 0\)
\(8 + 9y + 3(6-\frac{2}{3}) \cdot z - 9(2+\frac{4}{9}) - 9y - 3(6-\frac{2}{3}) \cdot z = 0\)
\(8 + 9y + 3(6-\frac{2}{3}) \cdot z - 18 - 4 - 9y - 3(6-\frac{2}{3}) \cdot z = 0\)
\(-14 = 0\)

Последние два выражения равны 0, поэтому окончательное уравнение плоскости будет выглядеть так:
\(-14 = 0\)