Какое уравнение представляет эллипс с заданными вершинами в точках (-5;0) и (5;0) и фокусами в (-3;0) и (3;0)?

Жучка

27

Чтобы найти уравнение эллипса с заданными вершинами и фокусами, нам нужно использовать определение эллипса.

Эллипс - это геометрическая фигура, для которой сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов является постоянной величиной.

В данной задаче у нас есть две вершины (-5;0) и (5;0) и два фокуса (-3;0) и (3;0). Заметим, что все эти точки лежат на оси x, так как y-координаты равны нулю.

Для нахождения постоянной величины и полуосей эллипса мы можем использовать формулы:

\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)

\(с = \frac{e}{2}\)

\(e = d_1 + d_2\)

Где a - большая полуось, b - малая полуось, с - фокусное расстояние, e - эксцентриситет, \(d_1\) и \(d_2\) - расстояния от центра эллипса до фокусов.

Мы знаем, что \(d_1 = 3\) и \(d_2 = 3\), так как фокусы находятся в точках (-3;0) и (3;0).

Подставляя данные значения в формулу эксцентриситета, получаем \(e = 3 + 3 = 6\).

Теперь мы можем использовать формулы для нахождения полуосей эллипса:

\(c = \frac{e}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

\(a = b + c\)

Так как фокусы расположены по обе стороны центра, \(c\) и \(a\) будут равны по модулю, но иметь разные знаки. Беря во внимание, что вершины находятся в точках (-5;0) и (5;0), получаем:

\(c = 3\) и \(a = 5\)

Теперь мы можем найти малую полуось, используя формулу:

\(a^2 = b^2 + c^2\)

Подставляя значения \(a\) и \(c\), получаем:

\(5^2 = b^2 + 3^2\)

\(25 = b^2 + 9\)

Вычитая 9 из обеих сторон, получаем:

\(b^2 = 25 - 9\)

\(b^2 = 16\)

Получаем значения \(b = 4\) или \(b = -4\), но так как эллипс симметричен относительно оси x, выбираем положительное значение \(b\).

Таким образом, у нас есть следующее уравнение эллипса:

\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)

Ответ: Уравнение эллипса с заданными вершинами в точках (-5;0) и (5;0) и фокусами в (-3;0) и (3;0) задается уравнением \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\).