Какое выражение можно получить, если сложить квадраты двух многочленов: 1) 29x^2-20xy+4y^2 2) 2xy^2+6xy+9y^2-8x+16

Лёля

31

Чтобы найти выражение, полученное при сложении квадратов данных двух многочленов, нам понадобится использовать метод FOIL (First, Outer, Inner, Last), или распределение двух многочленов. Давайте выполним это пошагово.

Шаг 1: Возведение первого многочлена в квадрат.
Для многочлена \(29x^2-20xy+4y^2\) мы можем возвести каждый его член в квадрат по отдельности, используя формулу \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), где \(a\) и \(b\) - это переменные или числа.

\[
\begin{align*}
29x^2-20xy+4y^2 &= (29x)^2 - 2 \cdot 29x \cdot 20xy + (20xy)^2 - 2 \cdot (29x) \cdot 4y^2 + 2 \cdot (20xy) \cdot 4y^2 + (4y^2)^2 \\
&= 841x^2 - 1160x^2y + 400xy^2 - 232xy^2 + 160xy^2 + 16y^4 \\
&= 841x^2 - 920x^2y + 328xy^2 + 16y^4
\end{align*}
\]

Шаг 2: Возведение второго многочлена в квадрат.
Для многочлена \(2xy^2+6xy+9y^2-8x+16\) мы также возводим каждый член в квадрат по отдельности, используя формулу \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

\[
\begin{align*}
2xy^2+6xy+9y^2-8x+16 &= (2xy^2)^2 - 2 \cdot 2xy^2 \cdot 6xy + (6xy)^2 - 2 \cdot (2xy^2) \cdot 9y^2 + 2 \cdot (6xy) \cdot 9y^2 + (9y^2)^2 - 2 \cdot (2xy^2) \cdot (-8x) \\
&+ 2 \cdot (6xy) \cdot (-8x) + (-8x)^2 + 2 \cdot (-8x) \cdot 16 + 16^2 \\
&= 4x^2y^4 - 24x^2y^3 + 36x^2y^2 - 36xy^4 + 108xy^3 + 81y^4 + 16x^2 - 96xy - 128x + 256 \\
&= 4x^2y^4 - 24x^2y^3 + (36+81)y^4 + 36x^2y^2 - 36xy^4 + 108xy^3 + 16x^2 - 96xy - 128x + 256 \\
&= 4x^2y^4 - 24x^2y^3 + 117y^4 + 36x^2y^2 - 36xy^4 + 108xy^3 + 16x^2 - 96xy - 128x + 256
\end{align*}
\]

Шаг 3: Сложение двух многочленов.
Теперь мы сложим выражения, полученные в шагах 1 и 2, чтобы найти выражение, которое получится при сложении квадратов данных многочленов.

\[
\begin{align*}
&\hspace{0.45cm}(841x^2 - 920x^2y + 328xy^2 + 16y^4) \\
&+ (4x^2y^4 - 24x^2y^3 + 117y^4 + 36x^2y^2 - 36xy^4 + 108xy^3 + 16x^2 - 96xy - 128x + 256) \\
&= 841x^2 - 920x^2y + 328xy^2 + 16y^4 + 4x^2y^4 - 24x^2y^3 + 117y^4 + 36x^2y^2 - 36xy^4 + 108xy^3 + 16x^2 - 96xy - 128x + 256
\end{align*}
\]

Поэтому, выражение, которое мы получим при сложении квадратов данных многочленов, равно:
\(841x^2 - 920x^2y + 328xy^2 + 16y^4 + 4x^2y^4 - 24x^2y^3 + 117y^4 + 36x^2y^2 - 36xy^4 + 108xy^3 + 16x^2 - 96xy - 128x + 256\).

Я надеюсь, эта детальная процедура объяснения помогла вам понять, как получить такое выражение. Пожалуйста, дайте мне знать, если есть что-то еще, с чем я могу вам помочь.