Какое значение лямбда нужно подобрать в уравнении прямой 4x+лямбда*y-20=0, чтобы получить угол между этой прямой

Zolotaya_Pyl

14

Для решения задачи, нам нужно найти значение параметра \(\lambda\), при котором угол между данными прямыми будет минимальным. Для этого мы воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1: Найдем нормальный вектор для каждой прямой. Нормальный вектор к прямой с уравнением \(Ax + By + C = 0\) вычисляется по формуле \(\mathbf{N} = [A, B]\). Таким образом, нормальные векторы для данной системы уравнений будут:

Для прямой 4x + \(\lambda\)y - 20 = 0: \(\mathbf{N_1} = [4, \lambda]\)
Для прямой 2x - 3y + 6 = 0: \(\mathbf{N_2} = [2, -3]\)

Шаг 2: Найдем значение угла между нормальными векторами. Для этого мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:

\(\cos(\theta) = \frac{\mathbf{N_1} \cdot \mathbf{N_2}}{||\mathbf{N_1}|| \cdot ||\mathbf{N_2}||}\)

где \(\mathbf{N_1} \cdot \mathbf{N_2}\) - скалярное произведение векторов, а \(||\mathbf{N_1}||\) и \(||\mathbf{N_2}||\) - длины векторов.

Шаг 3: Подставим значения из шага 1 в формулу из шага 2 и решим полученное уравнение относительно \(\lambda\). Это позволит нам найти значение параметра \(\lambda\).

\(\cos(\theta) = \frac{\mathbf{N_1} \cdot \mathbf{N_2}}{||\mathbf{N_1}|| \cdot ||\mathbf{N_2}||} = \frac{(4 \cdot 2) + (\lambda \cdot -3)}{\sqrt{4^2 + \lambda^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-3)^2}}\)

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной \(\lambda\). Мы можем решить его, подставив значения и продолжив алгебраические вычисления.

\(2 \cdot \sqrt{13} \cdot \cos(\theta) = 8 - 3\lambda\)

\(\lambda = \frac{8 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \cos(\theta)}{3}\)

Таким образом, значение \(\lambda\) будет равно \(\frac{8 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \cos(\theta)}{3}\). Чтобы найти нужное значение \(\lambda\), нам потребуется угол \(\theta\) между этими прямыми, который не был задан в условии. Если вы можете предоставить значение угла \(\theta\), я смогу вычислить \(lambda\) для вас.