Каков диапазон значений x, для которых функция f(x)=√(2x+7)/√(3−2x) определена?

Radusha

55

Для определения диапазона значений \( x \), при которых функция \( f(x) = \frac{\sqrt{2x+7}}{\sqrt{3-2x}} \) определена, мы должны учесть два фактора: знаменатель и аргумент корня.

1. Знаменатель: корень \( \sqrt{3-2x} \) определен только при условии, что выражение под корнем больше или равно нулю. То есть, \( 3-2x \geq 0 \).

2. Аргумент корня: корень \( \sqrt{2x+7} \) определен только при условии, что выражение под корнем больше или равно нулю. То есть, \( 2x + 7 \geq 0 \).

Давайте решим оба неравенства по очереди:

1. Решим неравенство \( 3-2x \geq 0 \):
Вычтем 3 из обеих частей неравенства: \( -2x \geq -3 \)
Домножим обе части на -1 для изменения знака: \( 2x \leq 3 \)
Разделим обе части неравенства на 2: \( x \leq \frac{3}{2} \)

2. Решим неравенство \( 2x + 7 \geq 0 \):
Вычтем 7 из обеих частей неравенства: \( 2x \geq -7 \)
Разделим обе части неравенства на 2: \( x \geq -\frac{7}{2} \)

Таким образом, функция \( f(x) \) определена при условии, что \( x \leq \frac{3}{2} \) и \( x \geq -\frac{7}{2} \).

Диапазон значений \( x \) для которых функция \( f(x) \) определена, это все значения \( x \), которые попадают в этот интервал: \( x \in \left[-\frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right] \)