Каков периметр треугольника, если его площадь равна 6√3 см² и один из углов равен 60°, при условии, что отношение

Булька

3

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать знания о формулах площади и периметра треугольника.

Для начала, обратим внимание на условие задачи. Мы знаем, что один из углов треугольника равен 60°. Давайте обозначим этот угол как A.

Теперь, обратимся к отношению сторон, прилежащих к данному углу. Пусть сторона, противоположная углу A, обозначается как a, а сторона, прилежащая к углу A, обозначается как b.

Согласно определению тригонометрического отношения тангенса, отношение сторон противоположной и прилежащей к углу A равно тангенсу угла A:

\(\tan(A) = \frac{a}{b}\)

Так как угол A равен 60°, мы можем воспользоваться угловым значением тангенса 60°, которое равно √3:

\(\tan(60) = \frac{a}{b} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{a}{b}\)

Далее, мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить, используя формулу:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(A)\)

Подставим известные значения площади и угла:

\(6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(60)\)

Угловое значение синуса 60° также известно и равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Сокращая 2 и \(\sqrt{3}\), получаем:

\(12 = a \cdot b\)

Теперь перейдем к решению задачи о периметре треугольника. Периметр (P) треугольника - это сумма длин всех его сторон:

\(P = a + b + c\)

Из условия задачи у нас уже есть значения для a и b (стороны, соответствующие углу A), но нам нужно найти значение третьей стороны c.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Угол A равен 60°, так что сумма других двух углов равна 120°.

Поскольку сумма двух углов треугольника равна 120°, третий угол (назовем его B) будет равен 180° - 120° = 60°.

Таким образом, у нас получается равносторонний треугольник с углами 60°, 60° и 60°.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, поэтому с = a = b.

Мы уже выяснили, что \(12 = a \cdot b\), поэтому:

\(12 = c \cdot c\)

Решая квадратное уравнение, мы получаем:

\(c^2 = 12\)

\(c = \sqrt{12}\)

\(c = 2\sqrt{3}\)

Теперь мы можем найти периметр треугольника, подставив найденные значения сторон a, b и c в формулу периметра:

\(P = a + b + c = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)

Таким образом, периметр треугольника равен \(6\sqrt{3}\) см.