Каков радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник с стороной 6√3 и площадью 54√3? Мар 25, 2024 50 Каков радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник с стороной 6√3 и площадью 54√3? Математика
Yabednik 26
Для начала, обратимся к свойству правильного шестиугольника. Все его стороны равны, а углы между соседними сторонами составляют 120 градусов.Площадь правильного шестиугольника можно выразить через формулу:
\[S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2\]
где \(S\) - площадь, а \(a\) - длина стороны.
У нас дана площадь \(S = 54 \sqrt{3}\), поэтому подставляя в формулу, получим:
\[54 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2\]
Делим обе части уравнения на \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\):
\[\frac{54 \sqrt{3}}{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} = a^2\]
Сокращаем \(\sqrt{3}\) и упрощаем:
\[18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = a^2\]
\[18 \cdot 2 = a^2\]
\[36 = a^2\]
Из этого получаем, что длина стороны правильного шестиугольника равна 6.
Теперь давайте рассмотрим вписанную окружность. Она касается всех сторон правильного шестиугольника. Мы можем найти радиус этой окружности, используя следующую формулу:
\[r = \frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}\]
где \(r\) - радиус окружности, \(a\) - длина стороны шестиугольника, а \(n\) - количество сторон (в нашем случае 6).
Подставляя значения, получаем:
\[r = \frac{6}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)}\]
Вычислив тангенс \(\frac{\pi}{6}\), получаем:
\[r = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}\]
\[r = \frac{6}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\]
\[r = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[r = 3 \sqrt{3}\]
Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \(3 \sqrt{3}\).