Каков радиус шара, который вписан в эту пирамиду, если апофема правильной восьмиугольной пирамиды равна 10, а площадь

Радужный_День

27

Для того чтобы найти радиус шара, вписанного в пирамиду, нам понадобятся два факта.

Первый факт: Впишем равномерную основу вдоль боковой грани так, чтобы всех 8 соединяющих точек пересечения лежали на нашей окружности. Полученная окружность, проходящая через вершины пирамиды и соприкасающаяся с гранями, называется "вписанной окружностью".

Второй факт: Если притянуть радиусы шара до точек пересечения с гранями пирамиды, они будут проходить через соответствующие центры граней. Это означает, что притягивая радиусы до точек пересечения, мы разделим ребра пирамиды пополам, а значит, получим радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.

Теперь приступим к решению задачи. Мы знаем, что апофема правильной восьмиугольной пирамиды равна 10. Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания. Мы также знаем, что площадь круга, вписанного в основание пирамиды, равна 36π.

Для начала, найдем длину одного из ребер основания пирамиды, используя площадь круга. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = πr^2\), где \(S\) - площадь круга, а \(r\) - радиус круга. В нашем случае, площадь основания равна 36π, поэтому:

\[36π = πr^2\]

Делим обе части уравнения на π:

\[36 = r^2\]

Корень из этого уравнения дает нам значение радиуса:

\[r = \sqrt{36} = 6\]

Таким образом, радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен 6.