Каков результат умножения cos 72° на cos 12°, плюс результат умножения cos 18° на sin 168°? Пожалуйста, представьте
Каков результат умножения cos 72° на cos 12°, плюс результат умножения cos 18° на sin 168°? Пожалуйста, представьте подробные действия для решения этой задачи.
Лисичка 10
Для решения данной задачи, мы должны воспользоваться формулами тригонометрии и выполнить ряд преобразований.Используя формулу двойного угла для косинуса, мы можем выразить cos 72° и cos 18° через cos 36°:
\[cos 72° = 2cos^2 36° - 1\]
\[cos 18° = 2cos^2 9° - 1\]
Теперь, учитывая эти выражения, мы можем переписать исходное выражение:
\(cos 72° \cdot cos 12° + cos 18° \cdot sin 168°\)
Подставив выражения для cos 72° и cos 18°, получим:
\((2cos^2 36° - 1) \cdot cos 12° + (2cos^2 9° - 1) \cdot sin 168°\)
Теперь нам нужно выразить sin 168° через cos 9°, так как они связаны формулой синуса двойного угла:
\(sin 168° = sin (180° - 12°) = sin 12°\)
Заменим sin 168° на sin 12° в исходном выражении:
\((2cos^2 36° - 1) \cdot cos 12° + (2cos^2 9° - 1) \cdot sin 12°\)
Заметим, что sin 12° и cos 12° являются партнерами в формуле синусов и косинусов для разности углов:
\(sin 12° = 2sin 6° \cdot cos 6°\)
\(cos 12° = 1 - 2sin^2 6°\)
Теперь можно заменить sin 12° и cos 12° в исходном выражении:
\((2cos^2 36° - 1) \cdot (1 - 2sin^2 6°) + (2cos^2 9° - 1) \cdot (2sin 6° \cdot cos 6°)\)
Выполнив преобразования, получим:
\(2cos^2 36° - 2cos^2 36°sin^2 6° - 1 + 4sin^2 6° \cdot cos^2 9° - 2sin^2 6° + 2cos^2 9°sin 6° \cdot cos 6°\)
Теперь важно заметить следующее:
\(cos^2 9° = 1 - sin^2 9°\)
Мы можем заменить это выражение и упростить:
\(2cos^2 36° - 2cos^2 36°sin^2 6° - 1 + 4sin^2 6° \cdot (1 - sin^2 9°) - 2sin^2 6° + 2(1 - sin^2 9°)sin 6° \cdot cos 6°\)
Продолжив упрощать дальше, мы получим:
\(2cos^2 36° + 4sin^2 6° - 4sin^2 6°sin^2 9° - 1 + 4sin^2 6° - 4sin^2 6°sin^2 9° + 2sin 6° \cdot cos 6° - 2sin^2 9° \cdot sin 6° \cdot cos 6°\)
Наконец, объединив подобные термы, мы получим:
\(2cos^2 36° + 8sin^2 6° - 8sin^2 6°sin^2 9° + 2sin 6° \cdot cos 6° - 2sin^2 9° \cdot sin 6° \cdot cos 6° - 1\)
На этом этапе мы получили конечный результат выражения, в котором нет неразрешимых углов:
\(2cos^2 36° + 8sin^2 6° - 8sin^2 6°sin^2 9° + 2sin 6° \cdot cos 6° - 2sin^2 9° \cdot sin 6° \cdot cos 6° - 1\)
Таким образом, результат умножения cos 72° на cos 12°, плюс результат умножения cos 18° на sin 168° равен \(2cos^2 36° + 8sin^2 6° - 8sin^2 6°sin^2 9° + 2sin 6° \cdot cos 6° - 2sin^2 9° \cdot sin 6° \cdot cos 6° - 1\).