Каков результат умножения cos 72° на cos 12°, плюс результат умножения cos 18° на sin 168°? Пожалуйста, представьте

Лисичка

10

Для решения данной задачи, мы должны воспользоваться формулами тригонометрии и выполнить ряд преобразований.

Используя формулу двойного угла для косинуса, мы можем выразить cos 72° и cos 18° через cos 36°:

$$cos72°=2co{s}^{2}36°-1$$
$$cos18°=2co{s}^{2}9°-1$$

Теперь, учитывая эти выражения, мы можем переписать исходное выражение:

$cos72°\cdot cos12°+cos18°\cdot sin168°$

Подставив выражения для cos 72° и cos 18°, получим:

$(2co{s}^{2}36°-1)\cdot cos12°+(2co{s}^{2}9°-1)\cdot sin168°$

Теперь нам нужно выразить sin 168° через cos 9°, так как они связаны формулой синуса двойного угла:

$sin168°=sin(180°-12°)=sin12°$

Заменим sin 168° на sin 12° в исходном выражении:

$(2co{s}^{2}36°-1)\cdot cos12°+(2co{s}^{2}9°-1)\cdot sin12°$

Заметим, что sin 12° и cos 12° являются партнерами в формуле синусов и косинусов для разности углов:

$sin12°=2sin6°\cdot cos6°$
$cos12°=1-2si{n}^{2}6°$

Теперь можно заменить sin 12° и cos 12° в исходном выражении:

$(2co{s}^{2}36°-1)\cdot (1-2si{n}^{2}6°)+(2co{s}^{2}9°-1)\cdot (2sin6°\cdot cos6°)$

Выполнив преобразования, получим:

$2co{s}^{2}36°-2co{s}^{2}36°si{n}^{2}6°-1+4si{n}^{2}6°\cdot co{s}^{2}9°-2si{n}^{2}6°+2co{s}^{2}9°sin6°\cdot cos6°$

Теперь важно заметить следующее:

$co{s}^{2}9°=1-si{n}^{2}9°$

Мы можем заменить это выражение и упростить:

$2co{s}^{2}36°-2co{s}^{2}36°si{n}^{2}6°-1+4si{n}^{2}6°\cdot (1-si{n}^{2}9°)-2si{n}^{2}6°+2(1-si{n}^{2}9°)sin6°\cdot cos6°$

Продолжив упрощать дальше, мы получим:

$2co{s}^{2}36°+4si{n}^{2}6°-4si{n}^{2}6°si{n}^{2}9°-1+4si{n}^{2}6°-4si{n}^{2}6°si{n}^{2}9°+2sin6°\cdot cos6°-2si{n}^{2}9°\cdot sin6°\cdot cos6°$

Наконец, объединив подобные термы, мы получим:

$2co{s}^{2}36°+8si{n}^{2}6°-8si{n}^{2}6°si{n}^{2}9°+2sin6°\cdot cos6°-2si{n}^{2}9°\cdot sin6°\cdot cos6°-1$

На этом этапе мы получили конечный результат выражения, в котором нет неразрешимых углов:

$2co{s}^{2}36°+8si{n}^{2}6°-8si{n}^{2}6°si{n}^{2}9°+2sin6°\cdot cos6°-2si{n}^{2}9°\cdot sin6°\cdot cos6°-1$

Таким образом, результат умножения cos 72° на cos 12°, плюс результат умножения cos 18° на sin 168° равен $2co{s}^{2}36°+8si{n}^{2}6°-8si{n}^{2}6°si{n}^{2}9°+2sin6°\cdot cos6°-2si{n}^{2}9°\cdot sin6°\cdot cos6°-1$.