Каков результат вычисления корня числа с 40 девятками после запятой √0,99...9 с точностью до 40 знаков после запятой?

Сквозь_Огонь_И_Воду

1

Чтобы вычислить значение корня из числа \(0,99...9\) с точностью до 40 знаков после запятой, давайте воспользуемся методом сходящихся рядов.

Предположим, что искомое значение корня равно \(x\). Тогда можно записать уравнение в следующем виде:

\[x = \sqrt{0,99...9}\]

Для удобства, давайте обозначим \(0,99...9\) как \(a\). Тогда уравнение будет выглядеть так:

\[x = \sqrt{a}\]

Мы знаем, что \(a\) состоит из 40 цифр девятки после запятой. Чтобы упростить вычисления, давайте представим число \(a\) в другой форме. Заметим, что \(a\) можно записать как:

\[a = 1 - \frac{1}{10^{40}}\]

Теперь мы можем переписать уравнение в виде:

\[x = \sqrt{1 - \frac{1}{10^{40}}}\]

Чтобы приближенно вычислить значение корня, воспользуемся разложением в ряд Тейлора. Разложение будет выглядеть так:

\[\sqrt{1 - \frac{1}{10^{40}}} = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10^{40}} - \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{1}{10^{40}}\right)^2 - \frac{1}{16} \cdot \left(\frac{1}{10^{40}}\right)^3 - ...\]

Каждый следующий член ряда будет меньше предыдущего и будет слабо влиять на значение корня. Поэтому мы можем остановиться после нескольких членов, чтобы получить достаточно точный результат.

Возьмем первые 4 члена разложения:

\[\sqrt{1 - \frac{1}{10^{40}}} \approx 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10^{40}} - \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{1}{10^{40}}\right)^2 - \frac{1}{16} \cdot \left(\frac{1}{10^{40}}\right)^3\]

Вычислим значение, округлив каждый член до 40 знаков после запятой:

\[\sqrt{1 - \frac{1}{10^{40}}} \approx 0.99999999999999999999999999999999999998\]

Таким образом, результат вычисления корня из числа \(0,99...9\) с точностью до 40 знаков после запятой составляет приблизительно \(0.99999999999999999999999999999999999998\).