Каков результат вычисления sin(60+a)sin(60-a), если известно, что cos2a?

Laska

59

Чтобы найти результат выражения \( \sin(60+a) \times \sin(60-a) \), воспользуемся формулой двойного угла для синуса.

Формула двойного угла для синуса:

\[
\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)
\]

Подставим в эту формулу значения \( \theta = 60+a \):

\[
\sin(2(60+a)) = 2 \sin(60+a) \cos(60+a)
\]

Так как нам известно, что \( \cos(2a) = \frac{1}{2} \), мы можем написать следующее:

\[
\frac{1}{2} = \cos(2a) = 2 \cos^2(a) - 1
\]

Решим это уравнение относительно \( \cos(a) \):

\[
2 \cos^2(a) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}
\]

\[
\cos^2(a) =\frac{3}{4}
\]

Теперь найдем значение \( \cos(a) \):

\[
\cos(a) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Теперь мы можем найти значение выражения \( \sin(60+a) \times \sin(60-a) \):

\[
\sin(60+a) \times \sin(60-a) = \frac{1}{2} \times \left(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Лучше всего было бы записать все ответы довольно подробно, чтобы школьник понял некоторые базовые соображения, чтобы осознавать что-то. В противном случае, можно записать и только ответ:

\[
\sin(60+a) \times \sin(60-a) = \pm\frac{\sqrt{3}}{4}
\]

Таким образом, выражение \(\sin(60+a) \times \sin(60-a)\) равно \(\pm\frac{\sqrt{3}}{4}\), где знак \(\pm\) зависит от значения \(\cos(a)\).