Каков закон распределения количества кондиционных деталей среди трех наудачу выбранных деталей из ящика, содержащего

Жужа

21

Для решения данной задачи мы можем использовать гипергеометрическое распределение. Данное распределение используется, когда мы выбираем объекты без возвращения из общей совокупности, состоящей из двух групп (успехов и неудач), и нам требуется узнать вероятности выбора определенного числа объектов из каждой группы.

Здесь мы имеем ящик с общим количеством деталей равным 35 + 12 = 47. Из них 35 являются кондиционными, а 12 - бракованными.

Функция распределения, обозначаемая как F(x), для гипергеометрического распределения определяется следующим образом:

\[F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{x} \frac{{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}}{{\binom{N}{n}}}\]

где:
- N - общее количество объектов в совокупности (47 в нашем случае),
- K - количество "успехов" (35 кондиционных деталей),
- n - количество выбранных объектов (3 детали),
- x - количество успешно выбранных объектов (от 0 до 3).

Теперь приступим к решению задачи:

1. Найдем функцию распределения F(x) для каждого значения x (от 0 до 3). Так как в задаче требуется построить полигон, мы найдем значения F(x) для каждого x:

Для x = 0:
\[F(0) = P(X \leq 0) = \frac{{\binom{35}{0} \binom{12}{3-0}}}{{\binom{47}{3}}}\]

Для x = 1:
\[F(1) = P(X \leq 1) = \frac{{\binom{35}{0} \binom{12}{3-0}}}{{\binom{47}{3}}} + \frac{{\binom{35}{1} \binom{12}{3-1}}}{{\binom{47}{3}}}\]

Для x = 2:
\[F(2) = P(X \leq 2) = \frac{{\binom{35}{0} \binom{12}{3-0}}}{{\binom{47}{3}}} + \frac{{\binom{35}{1} \binom{12}{3-1}}}{{\binom{47}{3}}} + \frac{{\binom{35}{2} \binom{12}{3-2}}}{{\binom{47}{3}}}\]

Для x = 3:
\[F(3) = P(X \leq 3) = \frac{{\binom{35}{0} \binom{12}{3-0}}}{{\binom{47}{3}}} + \frac{{\binom{35}{1} \binom{12}{3-1}}}{{\binom{47}{3}}} + \frac{{\binom{35}{2} \binom{12}{3-2}}}{{\binom{47}{3}}} + \frac{{\binom{35}{3} \binom{12}{3-3}}}{{\binom{47}{3}}}\]

2. Теперь найдем ожидание (математическое ожидание), дисперсию и среднее квадратическое отклонение этого количества.

Ожидание (математическое ожидание) E(X) для гипергеометрического распределения определяется следующим образом:
\[E(X) = n \cdot \frac{K}{N}\]

Дисперсия Var(X) определяется как:
\[Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{(N-K)}{N} \cdot \frac{(N-n)}{(N-n-1)}\]

Среднее квадратическое отклонение (СКО) для гипергеометрического распределения рассчитывается как квадратный корень из дисперсии:
\[SD(X) = \sqrt{Var(X)}\]

Теперь можно вычислить значения ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

3. Наконец, построим полигон для полученного распределения, используя значения функции распределения F(x) для каждого значения x (от 0 до 3). На горизонтальной оси откладываем значения x, а на вертикальной оси - значения F(x). По точкам, полученным на полигоне, можно увидеть вероятности для каждого x.

Это подробное решение задачи о законе распределения количества кондиционных деталей среди трех наудачу выбранных деталей из ящика, содержащего 35 кондиционных и 12 бракованных однотипных деталей. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите мне.