Каков закон распределения случайной величины в арифметической прогрессии из четырех членов, где значения средних членов

Bublik

26

Задача № 23.3 из вашего учебника — это интересная задача о распределении случайной величины в арифметической прогрессии из четырех членов. Для начала, давайте рассмотрим, что такое арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, где каждый последующий член получается прибавлением к предыдущему члену одной и той же константы, называемой разностью прогрессии. Обозначим разность прогрессии буквой \(d\).

В нашем случае, у нас есть арифметическая прогрессия из четырех членов, и значения средних членов (второго и третьего) равны 8 и 12 соответственно. Давайте обозначим первый член прогрессии как \(a_1\), второй член как \(a_2\), третий член как \(a_3\) и последний (четвертый) член как \(a_4\).

Теперь, нам дано, что вероятность средних членов прогрессии (8 и 12) в четыре раза больше вероятностей крайних членов (первого и четвертого). Обозначим вероятность крайних членов как \(P_1\) и \(P_4\), а вероятность средних членов как \(P_2\) и \(P_3\).

Мы можем сформулировать данное условие следующим образом:
\[P_2 + P_3 = 4(P_1 + P_4)\]

Вопрос заключается в определении закона распределения случайной величины. Закон распределения — это вероятностная характеристика случайной величины, описывающая, с какой вероятностью случайная величина принимает каждое из возможных значений.

В нашем случае, случайная величина — это число, взятое из арифметической прогрессии из четырех членов. Чтобы определить закон распределения этой случайной величины, нам нужно вычислить вероятности для каждого из возможных значений этой случайной величины.

Давайте решим систему уравнений, чтобы найти значения вероятностей \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) и \(P_4\).

У нас есть система:
\[\begin{cases}
P_2 + P_3 = 4(P_1 + P_4) \\
P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1
\end{cases}\]

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения вероятностей:

\[
\begin{cases}
P_1 = \frac{3}{19} \\
P_2 = \frac{4}{19} \\
P_3 = \frac{4}{19} \\
P_4 = \frac{3}{19}
\end{cases}
\]

Теперь, когда у нас есть значения вероятностей, мы можем определить закон распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины в нашем случае будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{cases}
P(X = a_1) = P_1 = \frac{3}{19} \\
P(X = a_2) = P_2 = \frac{4}{19} \\
P(X = a_3) = P_3 = \frac{4}{19} \\
P(X = a_4) = P_4 = \frac{3}{19}
\end{cases}
\]

Таким образом, мы определили закон распределения случайной величины в арифметической прогрессии из четырех членов, где значения средних членов равны 8 и 12, а вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов.

Надеюсь, это решение будет понятным для вас и поможет вам разобраться с данной задачей! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам!