Какова длина самого короткого периода остатков степеней двойки по модулю?

Pauk

23

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с понимания того, что такое "остаток степени двойки по модулю".

Остаток степени двойки по модулю - это остаток, который остается от деления степени числа 2 на заданное число (модуль). Другими словами, мы берем число 2, возводим его в степень, а затем делим полученное число на модуль, чтобы найти остаток.

Например, если мы хотим найти остаток от деления \(2^n\) на 7, мы будем возводить 2 в различные степени и находить остаток от деления результата на 7:

\[
\begin{align*}
2^0 & \equiv 1 \pmod 7 \\
2^1 & \equiv 2 \pmod 7 \\
2^2 & \equiv 4 \pmod 7 \\
2^3 & \equiv 1 \pmod 7 \\
2^4 & \equiv 2 \pmod 7 \\
2^5 & \equiv 4 \pmod 7 \\
\end{align*}
\]

Здесь мы видим, что остатки повторяются после каждых трех степеней. То есть на самом деле мы можем записать:

\[
2^n \equiv 2^{n \mod 3} \pmod 7
\]

Теперь перейдем к вопросу о самом коротком периоде остатков степеней двойки по модулю. Мы должны найти наименьшее натуральное число \(k\), для которого выполняется равенство:

\[
2^n \equiv 2^{n + k} \pmod m
\]

где \(n\) - произвольное натуральное число. Натуральное число \(k\) называется периодом.

По сведениям из теории чисел, если мы ищем период остатков степеней двойки по модулю \(m\), то самый короткий период будет равен функции Эйлера от \(m\), обозначаемой как \(\phi(m)\). Функция Эйлера определяется как количество натуральных чисел, меньших или равных \(m\) и взаимно простых с \(m\).

Таким образом, чтобы найти длину самого короткого периода остатков степеней двойки по модулю, необходимо найти значение функции Эйлера для заданного модуля.

Вернемся к нашему примеру с \(\pmod 7\). В данном случае, функция Эйлера от 7 будет равна 6 (потому что 1, 2, 3, 4, 5, 6 - все натуральные числа, меньшие 7 и взаимно простые с 7). Следовательно, длина самого короткого периода остатков степеней двойки по модулю 7 равна 6.

Таким образом, ответ на вашу задачу будет 6 - длина самого короткого периода остатков степеней двойки по модулю.