Какова длина высоты равностороннего треугольника с данным значением для стороны?

Vitaliy

31

Давайте рассмотрим задачу. У нас есть равносторонний треугольник, что означает, что все его стороны равны между собой. Пусть сторона треугольника имеет длину \(a\). Мы хотим найти длину высоты, проведенной к одной из сторон треугольника.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства равностороннего треугольника. Давайте разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника путем проведения высоты к одной из сторон треугольника.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота проведена из вершины к середине противоположной стороны. Это означает, что высота будет также являться медианой треугольника. Медиана делит сторону треугольника пополам и проходит через его вершину.

Теперь нам нужно найти длину медианы высоты. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в одном из прямоугольных треугольников, полученных после проведения высоты.

Допустим, высота активирована на сторону, соответствующую \(a\). Это означает, что длина высоты будет равна \(h\). Теперь мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с катетом \(h\) и гипотенузой \(a\).

Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Применяя эту теорему в нашем случае, мы можем записать:

\[h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\]

Теперь, если мы решим это уравнение относительно \(h\), то мы сможем найти длину высоты равностороннего треугольника. Для упрощения, разложим \(\frac{a}{2}\) на \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\) и \(\frac{a}{2}\).

\[h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\]
\[h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2\]
\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\]
\[h^2 = \frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4}\]
\[h^2 = \frac{3a^2}{4}\]
\[h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\]
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, мы получаем ответ: длина высоты равностороннего треугольника равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).