Какова формула для функции, которая связывает площадь прямоугольника с периметром 16см с длиной его основания х? Какое
Какова формула для функции, которая связывает площадь прямоугольника с периметром 16см с длиной его основания х? Какое значение х приводит к наибольшему значению функции? Как можно истолковать этот ответ?
Vsevolod 28
Формула, которая связывает площадь прямоугольника (S) с периметром (P) и длиной основания (x), можно вывести следующим образом:Так как прямоугольник имеет две одинаковые стороны, обозначим длину основания как x и ширину как y. Тогда периметр прямоугольника можно выразить следующим образом:
\[ P = 2x + 2y \]
Так как периметр равен 16 см, то мы можем записать следующее уравнение:
\[ 16 = 2x + 2y \]
Для нахождения формулы, связывающей площадь и длину основания, воспользуемся формулой для площади прямоугольника:
\[ S = x \cdot y \]
Значение y можно выразить через x и периметр:
\[ y = \frac{{P - 2x}}{2} \]
Подставим это значение y в формулу для площади:
\[ S = x \cdot \left(\frac{{P - 2x}}{2}\right) = \frac{{Px - 2x^2}}{2} \]
Теперь мы получили формулу, которая связывает площадь прямоугольника с длиной его основания x.
Чтобы найти значение x, при котором функция достигает наибольшего значения, мы можем взять производную от этой функции и приравнять ее к нулю, так как экстремум функции находится в точке, где производная равна нулю.
Вычислим производную от функции площади прямоугольника:
\[ \frac{{dS}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} \left(\frac{{Px - 2x^2}}{2}\right) = \frac{{P - 4x}}{2} \]
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[ \frac{{P - 4x}}{2} = 0 \]
\[ P - 4x = 0 \]
\[ 4x = P \]
\[ x = \frac{{P}}{4} \]
Таким образом, значение x, при котором функция достигает наибольшего значения, равно \(\frac{{P}}{4}\). В нашей задаче, P равно 16, поэтому \( x = \frac{{16}}{4} = 4 \).
Истолкование этого ответа заключается в том, что при длине основания равной 4 см площадь прямоугольника будет достигать наибольшего значения среди всех прямоугольников с периметром, равным 16 см.