Какова градусная мера дуги BC, если расстояние от точки A до центра окружности в два раза больше радиуса окружности

Volk

41

Данная задача связана с описанием свойств окружностей и треугольников, а также с использованием равенств в треугольнике.

По условию задачи, расстояние от точки A до центра окружности в два раза больше радиуса. Обозначим радиус окружности через r. Тогда AC и AB - касательные, а BC - хорда окружности.

Используя свойства касательных, мы знаем, что касательная, проведенная к окружности из точки касания, является перпендикуляром к радиусу, проведенному в точку касания.

Таким образом, мы можем сказать, что треугольник ABC - прямоугольный треугольник, так как AC и AB являются перпендикулярными к нашему радиусу.

Пусть BD будет высотой треугольника ABC, где D - точка пересечения высоты с хордой BC. Так как треугольник ABC прямоугольный, то BD будет являться медианой, а DC будет половиной основания BC.

Используя свойство медианы треугольника, мы можем сказать, что BD делит хорду BC пополам. То есть, DC = BD.

Также, мы знаем, что расстояние от точки A до центра окружности в два раза больше радиуса окружности, а радиус равен DC + BD. Подставляя значение DC = BD, получаем следующее уравнение:

2r = 2BD

Делим обе части равенства на 2, получаем:

r = BD

Теперь у нас есть равенство между радиусом и длиной медианы треугольника, проведенной к хорде BC.

Так как BD является медианой, то она делит хорду BC пополам. То есть, длина BD равна половине длины хорды BC.

Таким образом, градусная мера дуги BC будет составлять половину от 360 градусов, то есть:

\(\angle BC = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ\)

Таким образом, градусная мера дуги BC равна 180 градусов.