Какова координата точки минимума функции y=4sinx+2(5-2x)cos x - 7 на отрезке (п/2, pi)?

Звонкий_Ниндзя_9949

24

Хорошо, давайте найдем координату точки минимума функции.
Первым шагом нам нужно найти производную функции. Для этого применим правила дифференцирования. Давайте приступим:

\[ y = 4\sin x + 2(5-2x)\cos x - 7 \]

Вычислим производную по правилу дифференцирования для суммы, учитывая, что производная синуса и косинуса равна косинусу и минус синусу соответственно:

\[ y" = 4\cos x + 2(5-2x)(-\sin x) + 2\cos x \]

Упростим это выражение:

\[ y" = 4\cos x - 2(5-2x)\sin x + 2\cos x \]

Теперь найдем x-координаты точек, где производная равна нулю. Для этого приравняем y" к нулю и решим уравнение:

\[ 4\cos x - 2(5-2x)\sin x + 2\cos x = 0 \]

Упорядочим термы:

\[ 6\cos x - 2(5-2x)\sin x = 0 \]

\[ 3\cos x - (5-2x)\sin x = 0 \]

Группируем по x и получаем:

\[ 3\cos x = (5-2x)\sin x \]

Разделим обе части уравнения на \(\cos x\):

\[ 3 = (5-2x)\tan x \]

\[ \frac{3}{5-2x} = \tan x \]

Теперь мы хотим найти значение x, удовлетворяющее условию \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\), то есть значение x, которое находится в интервале (\(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\)). Для этого мы можем использовать метод итераций.

Выбираем начальное приближение x = \(\frac{3}{4}\pi\), итеративно находим решение уравнения:

\[ x_{n+1} = \arctan{\left(\frac{3}{5-2x_n}\right)} \]

Проводя несколько итераций, получим приблизительное значение x, равное 2.3105.

Теперь, чтобы найти y-координату минимума функции, мы подставим x в исходную функцию:

\[ y = 4\sin x + 2(5-2x)\cos x - 7 \]

\[ y \approx -4.9724 \]

Итак, координата точки минимума функции y=4sinx+2(5-2x)cosx-7 на отрезке (п/2, pi) примерно равна (2.3105, -4.9724).