Какова координата точки минимума функции y = (x-12)^2 * e^-x-14?

Снежка

24

Чтобы найти координату точки минимума функции \(y = (x-12)^2 \cdot e^{-x-14}\), мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцирование поможет нам найти точку, где производная функции равна нулю, что соответствует точке минимума.

Шаг 1: Найдение производной функции
Начнем с нахождения производной функции \(y = (x-12)^2 \cdot e^{-x-14}\). Для этого применим правила дифференцирования по переменной \(x\) к каждому элементу функции.

Применим правило производной для \(f(x) \cdot g(x)\), где \(f(x)\) и \(g(x)\) являются функциями от \(x\):
\[\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f"(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g"(x)\]

В нашем случае, \(f(x) = (x-12)^2\) и \(g(x) = e^{-x-14}\), так что применим это правило:
\[\frac{d}{dx}[(x-12)^2 \cdot e^{-x-14}] = 2(x-12) \cdot e^{-x-14} + (x-12)^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x-14})\]

Теперь нам нужно найти производную функции \(e^{-x-14}\). Применим правило производной для \(e^f\), где \(f\) - это функция от \(x\):
\[\frac{d}{dx}(e^f) = e^f \cdot f"(x)\]

В нашем случае, \(f(x) = -x-14\), так что:
\[\frac{d}{dx}(e^{-x-14}) = e^{-x-14} \cdot \frac{d}{dx}(-x-14)\]

Производная по \(x\) константы -14 равна 0, а производная по \(x\) переменной \(-x\) равна -1, поэтому:
\[\frac{d}{dx}(e^{-x-14}) = e^{-x-14} \cdot (-1) = -e^{-x-14}\]

Вернемся к первой производной:
\[\frac{d}{dx}[(x-12)^2 \cdot e^{-x-14}] = 2(x-12) \cdot e^{-x-14} + (x-12)^2 \cdot (-e^{-x-14})\]

Шаг 2: Найти точку минимума
Теперь найдем значение \(x\), при котором производная равна нулю. Запишем это в виде уравнения:
\[2(x-12) \cdot e^{-x-14} + (x-12)^2 \cdot (-e^{-x-14}) = 0\]

Мы можем заметить, что \(e^{-x-14}\) не равно нулю для любого значения \(x\), поэтому давайте упростим уравнение:
\[2(x-12) - (x-12)^2 = 0\]

Раскроем скобки:
\[2x - 24 - (x^2 - 24x + 144) = 0\]

Упростим:
\[2x - 24 - x^2 + 24x - 144 = 0\]

Соберем все члены вместе и упростим уравнение:
\[-x^2 + 26x - 168 = 0\]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Чтобы найти значения \(x\), которые являются корнями этого квадратного уравнения, мы можем использовать методы решения квадратных уравнений, такие как факторизация, метод квадратного корня или формулу дискриминанта. Наиболее эффективным способом является использование формулы дискриминанта:

Формула дискриминанта: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В нашем случае, коэффициенты \(a\), \(b\), и \(c\) равны: \(a = -1\), \(b = 26\), и \(c = -168\).

Вычислим значение дискриминанта:
\[\Delta = b^2 - 4ac = 26^2 - 4(-1)(-168)\]

\[\Delta = 676 - 672 = 4\]

Так как значение дискриминанта положительное, у нас будет два различных корня.

Используем формулу дискриминанта, чтобы найти значения \(x\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

\[x = \frac{-26 \pm \sqrt{4}}{2(-1)}\]

\[x = \frac{-26 \pm 2}{-2}\]

Теперь найдем точки минимума, подставив каждое значение \(x\) в исходную функцию \(y = (x-12)^2 \cdot e^{-x-14}\):
1. При \(x = \frac{-26 + 2}{-2}\), \(y = (x-12)^2 \cdot e^{-x-14}\)
2. При \(x = \frac{-26 - 2}{-2}\), \(y = (x-12)^2 \cdot e^{-x-14}\)

Подставляя значения \(x\) в функцию, мы найдем координаты точек минимума.