Какие множители порождают разложение выражения 4(3a^2+2b)^2 - (3a^2-2b)^2?

Alekseevna

65

Для разложения данного выражения на множители, мы будем использовать формулу квадрата суммы и разности двух выражений. Давайте разложим каждое слагаемое отдельно:

1) Разложение \(4(3a^2+2b)^2\):
Для разложения этого выражения, мы умножим каждый член внутри скобок на 4 и возведем всё в квадрат. Это даст нам:
\(4(3a^2+2b)^2 = 4 \cdot (3a^2+2b)(3a^2+2b)\)

Чтобы выполнить умножение, мы можем использовать формулу квадрата суммы:
\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)

Применяя эту формулу к нашему выражению, получим:
\(4 \cdot (3a^2+2b)(3a^2+2b) = 4 \cdot (9a^4 + 12a^2b + 4b^2)\)

Поэтому множители, порождающие разложение выражения \(4(3a^2+2b)^2\), равны \(9a^4\), \(12a^2b\) и \(4b^2\).

2) Разложение \((3a^2-2b)^2\):
Для разложения этого выражения, мы умножим каждый член внутри скобок на \(-1\) и возведем всё в квадрат:
\((3a^2-2b)^2 = (-1) \cdot (3a^2-2b)(3a^2-2b)\)

Вновь применяя формулу квадрата суммы, получим:
\((-1) \cdot (3a^2-2b)(3a^2-2b) = (-1) \cdot (9a^4 - 12a^2b + 4b^2)\)

Поэтому множители, порождающие разложение выражения \((3a^2-2b)^2\), равны \(9a^4\), \(-12a^2b\) и \(4b^2\).

Теперь, чтобы найти множители, порождающие разложение исходного выражения \(4(3a^2+2b)^2 - (3a^2-2b)^2\), мы просто вычитаем выражение \((3a^2-2b)^2\) из выражения \(4(3a^2+2b)^2\):

\(4(3a^2+2b)^2 - (3a^2-2b)^2 = 4 \cdot (9a^4 + 12a^2b + 4b^2) - (9a^4 -12a^2b + 4b^2)\)

Сокращая подобные члены, получим:
\(4 \cdot 9a^4 + 4 \cdot 12a^2b + 4 \cdot 4b^2 - 9a^4 + 12a^2b - 4b^2\)

Или собирая все члены вместе:
\(36a^4 + 48a^2b + 16b^2 - 9a^4 + 12a^2b - 4b^2\)

Теперь, объединяя подобные члены:
\(36a^4 - 9a^4 + 48a^2b + 12a^2b + 16b^2 - 4b^2\)

Итак, разложение данного выражения на множители будет:
\(27a^4 + 60a^2b + 12b^2\)

Таким образом, множители, порождающие разложение выражения \(4(3a^2+2b)^2 - (3a^2-2b)^2\), равны \(27a^4\), \(60a^2b\) и \(12b^2\).