Какова масса сегмента стержня от x1=1 до x2=2, если его плотность на единицу длины определяется формулой

Svetlyachok_V_Trave

39

Чтобы решить данную задачу, мы должны вычислить массу сегмента стержня, используя формулу для плотности на единицу длины \(p(x)\). Данная формула зависит от координаты \(x\) и определяется уравнением \(p(x) = 4x^2 + 5x + 2\).

Для того чтобы найти массу сегмента стержня от \(x_1 = 1\) до \(x_2 = 2\), мы должны интегрировать плотность на этом интервале. Формула интегрирования будет следующей:

\[m = \int_{x_1}^{x_2} p(x) \, dx\]

Подставляя нашу формулу \(p(x) = 4x^2 + 5x + 2\) в интеграл, получаем:

\[m = \int_{1}^{2} (4x^2 + 5x + 2) \, dx\]

Чтобы проинтегрировать данное выражение, мы сначала интегрируем каждый член по отдельности. Интегралы мономов и полиномов имеют простые формулы, поэтому проинтегрируем каждое слагаемое:

\[\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\]

где \(C\) - константа интегрирования.

Таким образом, после интегрирования каждого слагаемого мы получим:

\[\int_{1}^{2} (4x^2 + 5x + 2) \, dx = \left[\frac{{4x^3}}{3} + \frac{{5x^2}}{2} + 2x\right]_{1}^{2}\]

Подставляя верхний и нижний пределы интегрирования в выражение выше, получаем:

\[\left(\frac{{4 \cdot 2^3}}{3} + \frac{{5 \cdot 2^2}}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(\frac{{4 \cdot 1^3}}{3} + \frac{{5 \cdot 1^2}}{2} + 2 \cdot 1\right)\]

Вычисляя значения в скобках, получаем:

\[\left(\frac{{32}}{3} + \frac{{20}}{2} + 4\right) - \left(\frac{{4}}{3} + \frac{{5}}{2} + 2\right)\]

\[\frac{{32}}{3} + 10 + 4 - \frac{{4}}{3} - \frac{{5}}{2} - 2\]

\[\frac{{96}}{3} + 30 + 12 - \frac{{4}}{3} - \frac{{15}}{3} - \frac{{6}}{3}\]

\[\frac{{102}}{3} - \frac{{25}}{3} - \frac{{6}}{3}\]

\[\frac{{102 - 25 - 6}}{3}\]

\[\frac{{71}}{3}\]

Итак, масса сегмента стержня от \(x_1 = 1\) до \(x_2 = 2\) равна \(\frac{{71}}{3}\) единиц массы.

Это подробное решение шаг за шагом позволяет лучше понять процесс решения задачи и воспроизвести его самостоятельно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.