Какова площадь прямоугольника, который вырезали из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 6 так, что соотношение

Чудесный_Король

69

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать геометрические свойства треугольников.

Для начала, давайте представим исходный прямоугольный треугольник и выделим из него прямоугольник следующим образом:

1. Нам даны катеты треугольника, их значения равны 3 и 6. Обозначим эти значения как \(a\) и \(b\) соответственно.

2. Поскольку соотношение сторон прямоугольника равно 1:2, мы можем определить, что одна сторона прямоугольника будет равна \(\frac{a}{3}\), а вторая сторона будет равна \(\frac{2a}{3}\).

3. Теперь мы знаем значения сторон прямоугольника. Обозначим их как \(x\) и \(2x\). То есть, \(x = \frac{a}{3}\) и \(2x = \frac{2a}{3}\).

4. Площадь прямоугольника можно выразить как произведение его сторон. То есть, площадь прямоугольника равна \(x \cdot 2x\).

5. Подставим значения \(x\) и \(2x\) в выражение для площади прямоугольника: \(x \cdot 2x = 2x^2\).

6. Итак, площадь прямоугольника равна \(2x^2\), но мы должны выразить ее через известные значения \(a\) и \(b\).

7. Ранее мы выразили \(x\) через \(a\): \(x = \frac{a}{3}\). Подставим это выражение в площадь прямоугольника: \(2\left(\frac{a}{3}\right)^2\).

8. Сократим квадрат: \(2\left(\frac{a^2}{9}\right)\).

9. Поскольку площадь должна быть положительной, мы можем принять только положительные значения известных сторон треугольника \(a\) и \(b\). Поэтому мы можем пренебречь отрицательным знаком при возвращении в исходную формулу для площади.

Таким образом, мы получаем, что площадь прямоугольника, вырезанного из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 6, при соотношении сторон 1:2, равна \(2\left(\frac{a^2}{9}\right)\).