Какова производная функции y=x•sin^2x-e^2x?

Yaponec_4032

42

Хорошо, давайте решим задачу по нахождению производной функции $y=x\cdot {\sin }^2(x)-e^{2x}$ по шагам.

Шаг 1: Применим правило производной произведения.

Для этого нам понадобятся два правила: производная произведения двух функций $u$ и $v$ выражается как $u"v+uv"$, а также производная синуса $\sin (x)$ равна $\cos (x)$.

Применяя первое правило, получим:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x\cdot {\sin }^2(x))-\frac{d}{dx}(e^{2x})$$

Шаг 2: Найдем производную первого слагаемого $x\cdot {\sin }^2(x)$.

Применяя правило производной произведения, получим:

$$\frac{d}{dx}(x\cdot {\sin }^2(x))=x"\cdot {\sin }^2(x)+x\cdot ({\sin }^2(x))"$$

${\sin }^2(x)$ остается неизменным, так что ее производная равна нулю. Мы получаем:

$$\frac{d}{dx}(x\cdot {\sin }^2(x))=1\cdot {\sin }^2(x)+x\cdot 0={\sin }^2(x)$$

Шаг 3: Найдем производную второго слагаемого $e^{2x}$.

Для этого нам понадобится правило производной экспоненты. Производная $e^{ax}$ равна $a\cdot e^{ax}$.

Применяя это правило с $a=2$, получаем:

$$\frac{d}{dx}(e^{2x})=2\cdot e^{2x}$$

Шаг 4: Объединим результаты для общей производной.

Подставляем полученные значения обратно в исходную формулу:

$$\frac{dy}{dx}={\sin }^2(x)-2\cdot e^{2x}$$

Таким образом, производная функции $y=x\cdot {\sin }^2(x)-e^{2x}$ равна ${\sin }^2(x)-2\cdot e^{2x}$.

Надеюсь, что решение задачи было понятным для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.