Какова производная функции y=x•sin^2x-e^2x?

Yaponec_4032

42

Хорошо, давайте решим задачу по нахождению производной функции \(y = x \cdot \sin^2(x) - e^{2x}\) по шагам.

Шаг 1: Применим правило производной произведения.

Для этого нам понадобятся два правила: производная произведения двух функций \(u\) и \(v\) выражается как \(u"v + uv"\), а также производная синуса \(\sin(x)\) равна \(\cos(x)\).

Применяя первое правило, получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(x \cdot \sin^2(x)) - \frac{{d}}{{dx}}(e^{2x})
\]

Шаг 2: Найдем производную первого слагаемого \(x \cdot \sin^2(x)\).

Применяя правило производной произведения, получим:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x \cdot \sin^2(x)) = x" \cdot \sin^2(x) + x \cdot (\sin^2(x))"
\]

\(\sin^2(x)\) остается неизменным, так что ее производная равна нулю. Мы получаем:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x \cdot \sin^2(x)) = 1 \cdot \sin^2(x) + x \cdot 0 = \sin^2(x)
\]

Шаг 3: Найдем производную второго слагаемого \(e^{2x}\).

Для этого нам понадобится правило производной экспоненты. Производная \(e^{ax}\) равна \(a \cdot e^{ax}\).

Применяя это правило с \(a = 2\), получаем:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(e^{2x}) = 2 \cdot e^{2x}
\]

Шаг 4: Объединим результаты для общей производной.

Подставляем полученные значения обратно в исходную формулу:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \sin^2(x) - 2 \cdot e^{2x}
\]

Таким образом, производная функции \(y = x \cdot \sin^2(x) - e^{2x}\) равна \(\sin^2(x) - 2 \cdot e^{2x}\).

Надеюсь, что решение задачи было понятным для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.