Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если разность между первым и четвертым членами равна

Barbos

49

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулы для геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

По условию задачи, у нас есть следующая информация:
1. Разность между первым и четвертым членами прогрессии равна 35.
2. Сумма первых трех членов прогрессии известна, но в условии она не указана.

Давайте разберемся сначала с разностью между первым и четвертым членами. Предположим, что первый член прогрессии равен \(a\) и знаменатель прогрессии равен \(r\). Тогда четвертый член будет равен \(a \cdot r^3\). Разность между первым и четвертым членами равна 35, поэтому мы можем записать уравнение:

\[a \cdot r^3 - a = 35 \quad(1)\]

Затем, нам нужно найти сумму первых пяти членов прогрессии. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[S_n = a \cdot \frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что сумма первых трех членов прогрессии равна \(S_3\), поэтому:

\[S_3 = a \cdot \frac{{r^3 - 1}}{{r - 1}} \quad(2)\]

Теперь, чтобы найти сумму первых пяти членов прогрессии, нам нужно найти \(S_5\). Для этого мы можем использовать формулу \(S_5 = a \cdot \frac{{r^5 - 1}}{{r - 1}}\).

На данный момент у нас есть два уравнения: уравнение (1) и уравнение (2). Мы можем решить их совместно, чтобы найти значения \(a\) и \(r\).

Пользуясь уравнением (1), найдем \(a\):

\[a \cdot r^3 - a = 35\]
\[a \cdot (r^3 - 1) = 35\]
\[a = \frac{35}{r^3 - 1}\]

Теперь подставим это значение \(a\) в уравнение (2), чтобы найти \(r\):

\[S_3 = a \cdot \frac{{r^3 - 1}}{{r - 1}}\]
\[\frac{{35}}{{r^3 - 1}} \cdot \frac{{r^3 - 1}}{{r - 1}} = S_3\]
\[35 = S_3 \cdot (r - 1)\]

Из уравнения (2) мы теперь имеем значение \(r - 1\). Теперь подставим это значение в уравнение (1), чтобы найти \(a\):

\[a \cdot (r^3 - 1) = 35\]
\[a \cdot (r^3 - 1) = 35\]
\[a = \frac{{35}}{{r^3 - 1}}\]

Теперь у нас есть значения \(a\) и \(r\), и мы можем найти сумму первых пяти членов прогрессии \(S_5\):

\[S_5 = a \cdot \frac{{r^5 - 1}}{{r - 1}}\]

Подставим значения \(a\) и \(r\) в это уравнение и вычислим \(S_5\).