Какова сумма различных значений параметра а, при которых корни уравнения формируют геометрическую прогрессию

Osa

9

Чтобы найти сумму различных значений параметра \(a\), при которых корни уравнения формируют геометрическую прогрессию с целочисленными значениями, мы должны выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Рассмотрим уравнение, в котором корни образуют геометрическую прогрессию:
\[ax^2 - (a+2)x + (a+4) = 0\]

Шаг 2: Для того, чтобы корни \(x\) образовывали геометрическую прогрессию, должно выполняться следующее условие:
\[\frac{x_2}{x_1} = \frac{x_3}{x_2}\]
где \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) - корни уравнения.

Шаг 3: Решим уравнение с использованием формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
где \(a = a\), \(b = -(a+2)\) и \(c = (a+4)\).

Шаг 4: Выполним вычисления и посмотрим, при каких значениях \(a\) корни формируют геометрическую прогрессию.

\[
x_1 = \frac{a+2 + \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}{2a}
\]
\[
x_2 = \frac{a+2 - \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}{2a}
\]
\[
\frac{x_2}{x_1} = \frac{a+2 - \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}{2a} \cdot \frac{2a}{a+2 + \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}
\]
\[
\frac{x_3}{x_2} = \frac{a+2 + \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}{2a} \cdot \frac{2a}{a+2 - \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}
\]

Шаг 5: После выполнения всех необходимых вычислений, получим выражение для отношения \(\frac{x_2}{x_1}\) и \(\frac{x_3}{x_2}\). Теперь, чтобы найти сумму различных значений параметра \(a\), при которых корни формируют геометрическую прогрессию, нам нужно решить следующее уравнение:
\[
\frac{a+2 - \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}{2a} = \frac{a+2 + \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}{2a}
\]
или
\[
\frac{a+2 - \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}{2a} = \frac{a+2 - \sqrt{(a+2)^2-4a(a+4)}}{2a}
\]
Однако, заметим, что это уравнение имеет тривиальное решение \(a = -2\). При данном значении \(a\) все корни уравнения равны 1, и их отношение не определено.

Шаг 6: Значит, сумма различных значений параметра \(a\) будет равна нулю.

Таким образом, сумма различных значений параметра \(а\), при которых корни уравнения формируют геометрическую прогрессию с целочисленными значениями, равна нулю.