Какова вероятность того, что из шести наугад взятых изделий три из них будут изделиями высшего сорта, если завод

Загадочный_Кот

40

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать понятие комбинаторики и вероятности.

Изначально нам дано, что завод производит 75% продукции высшего сорта. Это означает, что вероятность выбрать изделие высшего сорта равна 0.75, а вероятность выбрать изделие низшего сорта равна 0.25.

Мы должны найти вероятность того, что из шести наугад взятых изделий три из них будут изделиями высшего сорта. Для этого мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения.

Формула вероятности в данном случае имеет вид:

\[P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
- P(k) - вероятность того, что из выборки из n элементов k будут иметь искомое свойство
- C(n, k) - количество сочетаний из n элементов по k (т.е. количество способов выбрать k элементов из n)
- p - вероятность одного элемента из выборки иметь искомое свойство
- n - общее количество элементов в выборке
- k - количество элементов с искомым свойством

В нашем случае n = 6 (так как мы берем 6 изделий), k = 3 (так как мы хотим, чтобы 3 изделия были изделиями высшего сорта), и p = 0.75 (вероятность выбрать изделие высшего сорта).

Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[P(3) = C(6, 3) \cdot 0.75^3 \cdot (1-0.75)^{6-3}\]

Распишем это пошагово.

Шаг 1: Найдем количество сочетаний C(6, 3):

\[C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\]

Шаг 2: Подставим найденное значение C(6, 3) и вероятность p в формулу:

\[P(3) = 20 \cdot 0.75^3 \cdot (1-0.75)^{6-3}\]

Шаг 3: Вычислим значение:

\[P(3) = 20 \cdot 0.421875 \cdot 0.140625 = 0.59375\]

Таким образом, вероятность выбрать из шести наугад взятых изделий три из них будут изделиями высшего сорта составляет 0.59375 или 59.375%.