Какова вероятность того, что умножение чисел, записанных на двух случайно выбранных карточках, не будет иметь кратное

Vesna

54

Чтобы решить эту задачу, необходимо рассмотреть все возможные значения произведения двух случайно выбранных чисел на карточках и определить, какие из них кратны другим числам.

Первым шагом давайте определим диапазоны возможных чисел на карточках. Пусть на первой карточке могут быть записаны числа от 1 до \(n_1\), а на второй карточке — от 1 до \(n_2\). Тогда общее количество возможных комбинаций чисел на карточках составит \(n_1 \times n_2\).

Теперь нам нужно понять, какие значения произведения будут кратны другим числам. Чтобы число было кратным некоторому другому числу, оно должно делиться на это число без остатка. Например, если произведение двух чисел равно 10, то оно будет кратным 2 и 5.

Если число \(n_1\) делится на \(n\), тогда любое число, кратное \(n\), можно представить в виде \(n \times k\), где \(k\) — целое число. Аналогично, если число \(n_2\) делится на \(n\), тогда любое число, кратное \(n\), можно представить в виде \(n \times m\).

Таким образом, мы можем определить количество чисел на карточках, которые делятся на \(n\) в диапазонах от 1 до \(n_1\) и от 1 до \(n_2\) следующим образом:
\(\lfloor \frac{n_1}{n} \rfloor\) и \(\lfloor \frac{n_2}{n} \rfloor\) соответственно.

Теперь мы можем определить количество значений произведения, которые делятся на \(n\) в общем диапазоне чисел на карточках. Для этого нужно сложить количество чисел, делящихся на \(n\) на первой карточке (\(\lfloor \frac{n_1}{n} \rfloor\)) и количество чисел, делящихся на \(n\) на второй карточке (\(\lfloor \frac{n_2}{n} \rfloor\)). Математически это будет выглядеть так:
\(\lfloor \frac{n_1}{n} \rfloor + \lfloor \frac{n_2}{n} \rfloor\).

Теперь, чтобы найти вероятность того, что умножение чисел на карточках не будет иметь кратное значение, нужно вычислить отношение количества значений произведения, не делящихся на какое-либо число \(n\), к общему количеству комбинаций чисел на карточках. Формула для вычисления вероятности будет такой:
\[\frac{n_1 \times n_2 - (\lfloor \frac{n_1}{n} \rfloor + \lfloor \frac{n_2}{n} \rfloor)}{n_1 \times n_2}\].

Таким образом, чтобы найти вероятность того, что умножение чисел, записанных на двух случайно выбранных карточках, не будет иметь кратное значение, нужно знать значения \(n_1\), \(n_2\) и \(n\) и использовать формулу, описанную выше, для получения ответа.