Какова вероятность того, что выбранный наугад участник эстафеты пробежит свою дистанцию не быстрее нормативного

Grigoryevich

69

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать две важные величины: нормативное время и время, за которое участник пробежит свою дистанцию. Давайте предположим, что нормативное время для этой эстафеты составляет 10 минут.

Пусть X - это случайная величина, представляющая время, за которое участник пробежит свою дистанцию. Для простоты предположим, что X имеет равномерное распределение от 0 до 15 минут, так как это разумный интервал времени для бега.

Нам нужно найти вероятность того, что участник пробежит дистанцию не быстрее нормативного времени, то есть вероятность того, что X <= 10.

Для этого нам нужно вычислить площадь под графиком плотности вероятности X от 0 до 10.

Поскольку X имеет равномерное распределение, плотность вероятности равномерна на отрезке от 0 до 15. Обозначим эту плотность как f(x).

Для равномерного распределения плотность вероятности f(x) вычисляется по формуле:

\[f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & \text{если } a \leq x \leq b \\
0, & \text{иначе}
\end{cases}\]

где a и b - границы интервала, в данном случае a = 0 и b = 15.

Таким образом, плотность вероятности для X составляет:

\[f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{15-0} = \frac{1}{15}, & \text{если } 0 \leq x \leq 15 \\
0, & \text{иначе}
\end{cases}\]

Теперь мы можем вычислить вероятность P(X <= 10), которую мы и хотели найти.

\[P(X \leq 10) = \int_{0}^{10} f(x) dx\]

\[P(X \leq 10) = \int_{0}^{10} \frac{1}{15} dx\]

\[P(X \leq 10) = \frac{1}{15} \cdot \left[x\right]_{0}^{10}\]

\[P(X \leq 10) = \frac{1}{15} \cdot (10 - 0) = \frac{1}{15} \cdot 10 = \frac{2}{3}\]

Таким образом, вероятность того, что выбранный наугад участник эстафеты пробежит свою дистанцию не быстрее нормативного времени, составляет \( \frac{2}{3} \) или примерно 0.6667 (округлено до четырех знаков после запятой).

Надеюсь, это решение поможет вам лучше понять задачу и вероятность в этом контексте эстафеты. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!