Каково минимальное значение функции y=x^2 +25/x на данном отрезке?

Змей

61

Для решения данной задачи найдем минимальное значение функции на заданном отрезке.

Функция \(y=x^2 + \frac{25}{x}\) определена на всем отрезке, кроме \(x=0\), так как в знаменателе не может быть нуля. Это означает, что нам нужно найти минимальное значение функции \(y\), когда \(x\) не равен нулю.

Чтобы найти минимум функции, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю или не существует.

Возьмем производную функции y по x:
\[y" = 2x - \frac{25}{x^2}\]

Чтобы найти точки экстремума функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[2x - \frac{25}{x^2} = 0\]

Для удобства решения умножим обе части уравнения на \(x^2\):
\[2x^3 - 25 = 0\]

Решим это уравнение:
\[2x^3 = 25\]
\[x^3 = \frac{25}{2}\]
\[x = \sqrt[3]{\frac{25}{2}}\]

Поскольку нам нужно найти минимальное значение функции на отрезке, мы должны проверить значения функции на концах отрезка и в точке экстремума.

Оценим значения функции на концах отрезка:
При \(x = -\infty\) функция стремится к бесконечности, так как квадратичное слагаемое \(x^2\) будет доминировать над слагаемым \(\frac{25}{x}\).
При \(x = +\infty\) функция также стремится к бесконечности по тем же причинам.

Теперь оценим значение функции в точке экстремума:
Подставим найденное значение \(x\) в исходную функцию:
\[y = \left(\sqrt[3]{\frac{25}{2}}\right)^2 + \frac{25}{\sqrt[3]{\frac{25}{2}}}\]

Вычислим это значение с помощью калькулятора или программы и получим ответ.

Итак, минимальное значение функции \(y = x^2 + \frac{25}{x}\) на данном отрезке равно полученному из вычислений значению \(y\).