Каково расстояние между серединами средних частей отрезка длиной 72 см, который разделен на четыре не равные друг другу

Ольга

20

Для начала давайте разобьем отрезок на 4 не равные друг другу части. Пусть длина первой части отрезка будет \( a \), второй - \( b \), третьей - \( c \), и четвертой - \( d \). Тогда мы можем записать следующее:

\( a + b + c + d = 72 \) (у нас есть предположение, что сумма длин частей равна длине всего отрезка).

Теперь, нам нужно найти расстояние между серединами средних частей отрезка. Чтобы это сделать, давайте найдем середины первой и второй частей, а также середины третьей и четвертой частей отрезка. Обозначим середины первой и второй частей как \( P \) и \( Q \), а середины третьей и четвертой частей как \( R \) и \( S \).

Середина отрезка \( a \) равна \( \frac{a}{2} \), а середина отрезка \( b \) равна \( \frac{b}{2} \). Следовательно, расстояние между \( P \) и \( Q \) будет равно \( \frac{b}{2} - \frac{a}{2} = \frac{b - a}{2} \).

То же самое применяется и для частей \( c \) и \( d \). Середина отрезка \( c \) равна \( \frac{c}{2} \), а середина отрезка \( d \) равна \( \frac{d}{2} \). Следовательно, расстояние между \( R \) и \( S \) будет равно \( \frac{d}{2} - \frac{c}{2} = \frac{d - c}{2} \).

Итак, чтобы найти расстояние между серединами средних частей отрезка, нам нужно найти разность между \( \frac{b - a}{2} \) и \( \frac{d - c}{2} \).

Осталось только выразить \( a \), \( b \), \( c \) и \( d \) через данную информацию. Вспомним, что \( a + b + c + d = 72 \).

Так как мы имеем дело с 4-мя не равными друг другу частями, давайте представим, что \( b = ma \), \( c = na \) и \( d = ia \), где \( m \), \( n \) и \( i \) - коэффициенты, задающие отношения между длинами.

Теперь мы можем подставить эти выражения в уравнение \( a + b + c + d = 72 \), чтобы получить следующее:

\( a + ma + na + ia = 72 \).

Факторизуем \( a \) получим:

\( (1 + m + n + i) a = 72 \).

Очевидно, \( 1 + m + n + i = 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{d}{a} = \frac{b + c + d + a}{a} = \frac{72}{a} \).

Теперь мы можем выразить \( a \) через \( \frac{72}{a} \):

\( a = \frac{72}{1 + m + n + i} \) - это выражение позволяет нам найти значение \( a \) в зависимости от коэффициентов \( m \), \( n \) и \( i \).

Теперь мы можем выразить \( b \), \( c \) и \( d \) через \( a \):

\( b = ma = \frac{72m}{1 + m + n + i} \),

\( c = na = \frac{72n}{1 + m + n + i} \),

\( d = ia = \frac{72i}{1 + m + n + i} \).

Теперь мы можем выразить расстояние между серединами средних частей отрезка:

\( \frac{b - a}{2} - \frac{d - c}{2} = \frac{\frac{72m}{1 + m + n + i} - \frac{72}{1 + m + n + i}}{2} - \frac{\frac{72i}{1 + m + n + i} - \frac{72n}{1 + m + n + i}}{2} \).

Приведем оба слагаемых к общему знаменателю:

\( \frac{36m - 36}{2(1 + m + n + i)} - \frac{36i - 36n}{2(1 + m + n + i)} \).

Теперь мы можем сократить числитель и знаменатель на 36:

\( \frac{m - 1}{2(1 + m + n + i)} - \frac{i - n}{2(1 + m + n + i)} \).

Теперь у нас есть выражение для расстояния между серединами средних частей отрезка через коэффициенты \( m \), \( n \) и \( i \).

В зависимости от значений \( m \), \( n \) и \( i \), мы можем найти конкретное значение расстояния между серединами средних частей отрезка.