Каково расстояние от точки М до плоскости, если две наклонные, проведённые из точки М к этой плоскости, имеют длины

Анжела

50

Чтобы найти расстояние от точки М до плоскости, воспользуемся теоремой Пифагора в трехмерной геометрии.

Пусть точка М находится на расстоянии \(d\) от плоскости. Проведем перпендикуляр из точки М к плоскости и обозначим его длину через \(h\).

Так как две наклонные, проведенные из точки М к плоскости, имеют длины 10 см и 6 см, а их проекции на плоскость имеют соотношение 2:3, то можно сказать, что \(\frac{h}{10} = \frac{2}{3}\) и \(\frac{h}{6} = \frac{3}{3}\).

Решим эти уравнения для \(h\):

\[
\frac{h}{10} = \frac{2}{3} \implies h = \frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{20}{3}
\]

\[
\frac{h}{6} = \frac{3}{3} \implies h = \frac{3}{3} \cdot 6 = 6
\]

Заметим, что получили два значения для \(h\). Это значит, что точка М находится на расстоянии \(d\) от плоскости, где \(d\) может быть равно либо \(\frac{20}{3}\), либо 6.

Теперь вопрос в том, какое из этих значений будет расстоянием от точки М до плоскости. Для этого рассмотрим случай, когда \(d = \frac{20}{3}\). В таком случае, длина перпендикуляра \(h\) должна быть меньше длины более короткой наклонной (6 см), что не выполняется (\(h > 6\)). Поэтому отбросим это значение.

Остается вариант, когда \(d = 6\). В этом случае длина перпендикуляра \(h\) будет меньше длины более короткой наклонной (6 см), что соответствует условию задачи.

Таким образом, расстояние от точки М до плоскости равно 6 см.