Каково среднее квадратическое отклонение случайных ошибок прибора, учитывая, что 80% ошибок не превышают +-20

Magicheskiy_Edinorog_8290

14

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется немного знаний из статистики и теории вероятностей. Давайте начнем с определения среднего квадратического отклонения.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) измеряет разброс значений вокруг среднего значения. Обозначается оно как \(\sigma\) (сигма). Для нормального распределения стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и исходная величина.

В данной задаче нам дано, что 80% ошибок прибора не превышают \(\pm\)20 мм, а остальные ошибки выходят за эти пределы. Для начала, нам нужно найти значение стандартного отклонения для первых 80% ошибок.

80% ошибок прибора не превышают \(\pm\)20 мм означает, что они находятся в пределах -20 мм и +20 мм относительно среднего значения. Мы предполагаем, что эти ошибки распределены нормально. Так как нормальное распределение симметрично относительно среднего, мы можем предположить, что на 40% ошибок (20% в каждом хвосте) приходится по 20 мм.

Мы можем использовать эти данные для расчета значения стандартного отклонения для первых 80% ошибок. Давайте обозначим это значение как \(\sigma_1\).

80% всех случайных ошибок охватывают диапазон от \(-20\) мм до \(+20\) мм. Это составляет 40% ошибок в каждом хвосте. Причем площадь под кривой нормального распределения в каждом хвосте равна 0,4 / 2 = 0,2.

Значение для каждого хвоста мы можем найти, используя таблицу нормального распределения. Для 0,2 значение Z-статистики равно примерно -0,84 (можно использовать таблицу или статистический калькулятор). Так как нормальное распределение симметрично, мы можем использовать значение -0,84 для обоих хвостов.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения значения стандартного отклонения \(\sigma_1\) для первых 80% ошибок:

\(\sigma_1 = \frac{{\pm 20\, мм}}{{-0,84}}\)

Вычислив это выражение, мы получаем:

\(\sigma_1 \approx \frac{{\pm 20\, мм}}{{-0,84}} \approx \pm 23,81\, мм\)

Таким образом, стандартное отклонение \(\sigma_1\) для первых 80% случайных ошибок прибора примерно равно \(\pm 23,81\, мм\).

Теперь давайте найдем стандартное отклонение для оставшихся 20% ошибок. Мы уже знаем, что для обоих хвостов каждый из них охватывает 10% ошибок.

Мы можем использовать таблицу нормального распределения, чтобы найти значение, соответствующее 10% в каждом хвосте. Значение Z-статистики для 10% равно примерно 1,28 (можно также использовать таблицу или калькулятор).

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения значения стандартного отклонения \(\sigma_2\) для последних 20% ошибок:

\(\sigma_2 = \frac{{\Delta x}}{{1,28}}\)

где \(\Delta x\) - количество ошибок, которые превышают \(\pm 20\, мм\).

Так как нам дано, что оставшиеся ошибки превышают \(\pm 20\, мм\), мы можем предположить, что \(\Delta x\) равно 20% от общего количества ошибок:

\(\Delta x = 0,2 \cdot 100\% = 20\%\)

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\(\sigma_2 = \frac{{20\%}}{{1,28}}\)

Вычисляя это выражение, мы получаем:

\(\sigma_2 \approx \frac{{20}}{{1,28}} \approx 15,63\%\)

Таким образом, стандартное отклонение \(\sigma_2\) для оставшихся 20% случайных ошибок прибора примерно равно 15,63%.

Наконец, чтобы найти общее стандартное отклонение прибора, мы можем просто сложить значения \(\sigma_1\) и \(\sigma_2\):

\(\sigma_{\text{общ}} = \sigma_1 + \sigma_2\)

Подставляя значения, мы получаем:

\(\sigma_{\text{общ}} \approx (\pm 23,81\, мм) + 15,63\% \approx \pm 23,81\, мм + 0,1563\)

Итак, среднее квадратическое отклонение случайных ошибок прибора составляет примерно \(\pm 23,81\, мм + 0,1563\).

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе использовалась некоторая аппроксимация и упрощение для упрощения и понимания решения. Реальные значения и расчеты могут отличаться в зависимости от конкретной задачи и точности данных.