Каково уравнение касательной к графику функции f(x) = 1/2sin(4x - π/3) в точке с абсциссой x = π/6? В каких точках

Евгеньевна

42

Начнем с определения уравнения касательной. Касательная - это прямая, которая касается графика функции в определенной точке и имеет ту же наклонную линию, что и график функции в этой точке.

Для нахождения уравнения касательной нам понадобится найти значение производной функции f(x) в данной точке, так как производная показывает скорость изменения функции в данной точке и, следовательно, наклон касательной.

Первым шагом найдем производную функции f(x). Для этого возьмем производную от каждого элемента функции f(x). Начнем с производной синуса:

\[\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)\]

Теперь найдем производную функции \(4x - \frac{\pi}{3}\):

\[\frac{d}{dx} (4x - \frac{\pi}{3}) = 4\]

Так как у функции f(x) есть композиция синуса и линейной функции, нам нужно использовать правило цепочки (chain rule) для нахождения производной. Итак, производная функции f(x) будет:

\[\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2}\sin(4x - \frac{\pi}{3})\right) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \cos(4x - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(4x - \frac{\pi}{3})\]

Теперь мы можем найти значение производной в точке x = \(\frac{\pi}{6}\):

\[\frac{d}{dx} f(x) = 2\cos(4 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\]

Итак, наклон касательной в точке x = \(\frac{\pi}{6}\) равен 1.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти точки на интервале [0, \(\pi\)], где касательная к графику функции f(x) образует угол с осью OX. Угол, образованный касательной к графику функции и осью OX, равен арктангенту (arctan) наклона касательной.

Таким образом, нам нужно найти точки x, где:

\(\tan^{-1}(1) = \theta\), где \(0 \leq \theta \leq \pi\)

Решим уравнение:

\(\tan^{-1}(1) = \theta\)

Используя свойства арктангенса, получим:

\(\theta = \frac{\pi}{4}\)

Таким образом, касательная к графику функции f(x) образует угол \(\frac{\pi}{4}\) с осью OX в точке x = \(\frac{\pi}{6}\), а также в других точках x, где \(0 \leq \frac{\pi}{4} \leq \pi\).