Каково уравнение прямой, на которой лежат точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от точек а(4; 1) и в(5

Андрей

5

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические основы алгебры. Мы знаем, что точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от двух заданных точек, лежат на перпендикулярной биссектрисе отрезка, соединяющего эти две точки.

Итак, у нас есть две точки: а(4; 1) и в(5; 3). Для начала найдем координаты середины отрезка между этими двумя точками. Для этого сложим соответствующие координаты и разделим их на 2:

Середина отрезка: \(\left(\frac{{4+5}}{2}, \frac{{1+3}}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, 2\right)\)

Теперь нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через эту середину и перпендикулярной отрезку между точками а и в. Для этого нам понадобится найти угловой коэффициент этой прямой.

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данной, равен отрицательному обратному угловому коэффициенту исходной прямой. Так как у нас есть две точки, мы можем найти угловой коэффициент прямой, соединяющей эти точки, используя формулу:

Угловой коэффициент: \(k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{3-1}}{{5-4}} = 2\)

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент перпендикулярной прямой, мы должны найти отрицательное обратное значение:

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: \(k_{\perp} = -\frac{1}{2}\)

Так как мы знаем, что прямая проходит через точку \(\left(\frac{9}{2}, 2\right)\) и ее угловой коэффициент равен \(-\frac{1}{2}\), мы можем записать уравнение прямой в виде \(y - y_1 = k_{\perp}(x - x_1)\), где \((x_1, y_1)\) - координаты известной точки.

Подставим значения в уравнение:

\(y - 2 = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{9}{2}\right)\)

Упростим уравнение:

\(y - 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}\)

Перенесем члены с \(y\) на одинаковую сторону:

\(y + \frac{1}{2}x = \frac{9}{4} + 2\)

Сложим дроби и выразим общий знаменатель:

\(y + \frac{1}{2}x = \frac{9+8}{4}\)

\(y + \frac{1}{2}x = \frac{17}{4}\)

Таким образом, уравнение прямой, на которой лежат точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от точек а(4; 1) и в(5; 3), задается уравнением \(y + \frac{1}{2}x = \frac{17}{4}\).