Перепиши выражение (k−t)4 в виде произведения одинаковых множителей. Выбери правильную альтернативу

Solnechnaya_Zvezda

6

Чтобы переписать выражение \((k-t)^4\) в виде произведения одинаковых множителей, мы можем использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона гласит:

\((a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+...+\binom{n}{n-1}a^1b^{n-1}+\binom{n}{n}a^0b^n\),

где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, заданный сочетанием \(n\) по \(k\), и вычисляется по формуле:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n!\) - факториал числа \(n\).

В нашем случае \(a=k\), \(b=-t\) и \(n=4\). Подставим эти значения:

\((k-t)^4 = \binom{4}{0}k^4 (-t)^0+\binom{4}{1}k^3 (-t)^1+\binom{4}{2}k^2 (-t)^2+\binom{4}{3}k^1 (-t)^3+\binom{4}{4}k^0 (-t)^4\).

Вычислим каждый биномиальный коэффициент:

\(\binom{4}{0} = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{0!4!} = \frac{1}{1} = 1\),
\(\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4\),
\(\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{6}{2} = 3\),
\(\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4\),
\(\binom{4}{4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = \frac{1}{1} = 1\).

Теперь раскроем каждый член:

\(\binom{4}{0}k^4 (-t)^0 = k^4\),
\(\binom{4}{1}k^3 (-t)^1 = 4k^3 (-t)\),
\(\binom{4}{2}k^2 (-t)^2 = 3k^2 t^2\),
\(\binom{4}{3}k^1 (-t)^3 = 4kt^3\),
\(\binom{4}{4}k^0 (-t)^4 = t^4\).

Теперь объединим все члены:

\((k-t)^4 = k^4 + 4k^3 (-t) + 3k^2 t^2 + 4kt^3 + t^4\).

Ответом является альтернатива 1: \((k-t)⋅(k-t)⋅(k-t)⋅(k-t)\), которая эквивалентна выражению \((k-t)^4\).