Каково значение выражения: cos(-210) tg4п/3 2sinп/2-tgп/3 Решить уравнение sin 2x=1 cos x*cos 2x+sin x*sin 2x=0 Чему

Zvezdopad_V_Kosmose

26

Конечно, я помогу с решением этих задач.

1. Начнем с первой задачи. Мы должны найти значение выражения: $\cos (-210)\cdot \tan \left(\frac{4\pi }{3}\right)\cdot (2\sin \frac{\pi }{2}-\tan \frac{\pi }{3})$. Давайте разберем каждый компонент по отдельности.

- Значение $\cos (-210)$ можно найти, используя тригонометрическую окружность или таблицу значений. Мы знаем, что косинус - функция, определенная на всей окружности, и значение не зависит от знака угла. Поэтому $\cos (-210)=\cos (210)$, и нам нужно найти значение косинуса для угла 210 градусов. Ответ:

$$\cos (210)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

- Значение $\tan \left(\frac{4\pi }{3}\right)$ также требуется найти.

Для этого воспользуемся формулой тангенса:

$$\tan \left(\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{\sin \left(\frac{4\pi }{3}\right)}{\cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)}$$

Мы знаем, что синус угла 4π/3 равен -√3/2, а косинус равен -1/2. Подставим эти значения в формулу и получим:

$$\tan \left(\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

- Теперь рассмотрим компонент $2\sin \frac{\pi }{2}-\tan \frac{\pi }{3}$.
Значение $\sin \frac{\pi }{2}$ равно 1, а $\tan \frac{\pi }{3}$ равно $\sqrt{3}$. Подставим значения:

$$2\sin \frac{\pi }{2}-\tan \frac{\pi }{3}=2\cdot 1-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Теперь умножаем все три компонента:

$$\cos (-210)\cdot \tan \left(\frac{4\pi }{3}\right)\cdot (2\sin \frac{\pi }{2}-\tan \frac{\pi }{3})=(-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (\sqrt{3})\cdot (2-\sqrt{3})=\boxed{{\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}}}$$

Ответ: $\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

2. Теперь перейдем ко второй задаче: решить уравнение $\sin (2x)=1\cdot \cos (x)\cdot \cos (2x)+\sin (x)\cdot \sin (2x)=0$.

Мы видим, что у нас есть произведение и сумма синусов и косинусов. Давайте попробуем преобразовать это уравнение, используя тригонометрические тождества.

Мы знаем такие тождества:

- $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$
- $\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$
- $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

Подставим эти значения в уравнение:

$$2\sin (x)\cos (x)=1\cdot \cos (x)\cdot ({\cos }^2(x)-{\sin }^2(x))+\sin (x)\cdot (2\sin (x)\cos (x))$$

Давайте упростим это уравнение:

$$2\sin (x)\cos (x)=\cos (x)\cdot ({\cos }^2(x)-{\sin }^2(x))+2{\sin }^2(x)\cos (x)$$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$$2\sin (x)\cos (x)=({\cos }^3(x)-\cos (x){\sin }^2(x))+(2{\sin }^2(x)\cos (x))$$

Теперь используем тригонометрическое соотношение ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$, чтобы избавиться от ${\sin }^2(x)$:

$$2\sin (x)\cos (x)={\cos }^3(x)-\cos (x)(1-{\cos }^2(x))+(2{\sin }^2(x)\cos (x))$$

Раскроем скобки и упростим:

$$2\sin (x)\cos (x)={\cos }^3(x)-\cos (x)+{\cos }^3(x)+2{\sin }^2(x)\cos (x)$$

Сгруппируем похожие слагаемые:

$$2\sin (x)\cos (x)=2{\cos }^3(x)+2{\sin }^2(x)\cos (x)-\cos (x)$$

Итак, у нас получилось уравнение:

$$2\sin (x)\cos (x)-2{\cos }^3(x)-2{\sin }^2(x)\cos (x)+\cos (x)=0$$

Упростим его дальше:

$$\cos (x)(2\sin (x)-2{\cos }^2(x)-2{\sin }^2(x)+1)=0$$

Теперь у нас есть два уравнения в скобках:

1. $\cos (x)=0$
2. $2\sin (x)-2{\cos }^2(x)-2{\sin }^2(x)+1=0$

1. Решим первое уравнение. Как мы знаем, $\cos (x)=0$ при $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, где $n$ - целое число.

2. Решим второе уравнение. Перепишем его в более удобной форме:

$$2\sin (x)-2{\cos }^2(x)-2(1-{\cos }^2(x))+1=0$$

Упростим и решим эту квадратную уравнение:

$$-{\cos }^2(x)+2\sin (x)+1=0$$

Решение этого квадратного уравнения может быть сложным. Можно воспользоваться графиком функции и методом бисекции или другими численными методами для нахождения приближенного значения. Ответы будут конкретными числами.

3. Теперь ответим на третий вопрос. Чему равно ${\cos }^2(x)$?

Согласно основному тригонометрическому тождеству, ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$. Перенесем ${\sin }^2(x)$ на другую сторону и получим:

$${\cos }^2(x)=1-{\sin }^2(x)$$

Теперь воспользуемся формулой синуса, ${\sin }^2(x)=1-{\cos }^2(x)$, чтобы заменить ${\sin }^2(x)$:

$${\cos }^2(x)=1-(1-{\cos }^2(x))$$

Упростим:

$${\cos }^2(x)={\cos }^2(x)$$

Ответ: ${\cos }^2(x)$ равно ${\cos }^2(x)$, что является самобытным выражением и не может быть упрощено дальше.