Каково значение выражения: cos(-210) tg4п/3 2sinп/2-tgп/3 Решить уравнение sin 2x=1 cos x*cos 2x+sin x*sin 2x=0 Чему

Zvezdopad_V_Kosmose

26

Конечно, я помогу с решением этих задач.

1. Начнем с первой задачи. Мы должны найти значение выражения: \(\cos(-210)\cdot\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)\cdot(2\sin\frac{\pi}{2} - \tan\frac{\pi}{3})\). Давайте разберем каждый компонент по отдельности.

- Значение \(\cos(-210)\) можно найти, используя тригонометрическую окружность или таблицу значений. Мы знаем, что косинус - функция, определенная на всей окружности, и значение не зависит от знака угла. Поэтому \(\cos(-210) = \cos(210)\), и нам нужно найти значение косинуса для угла 210 градусов. Ответ:

\[
\cos(210) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

- Значение \(\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)\) также требуется найти.

Для этого воспользуемся формулой тангенса:

\[
\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)}
\]

Мы знаем, что синус угла 4π/3 равен -√3/2, а косинус равен -1/2. Подставим эти значения в формулу и получим:

\[
\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}
\]

- Теперь рассмотрим компонент \(2\sin\frac{\pi}{2} - \tan\frac{\pi}{3}\).
Значение \(\sin\frac{\pi}{2}\) равно 1, а \(\tan\frac{\pi}{3}\) равно \(\sqrt{3}\). Подставим значения:

\[
2\sin\frac{\pi}{2} - \tan\frac{\pi}{3} = 2\cdot 1 - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}
\]

Теперь умножаем все три компонента:

\[
\cos(-210)\cdot\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)\cdot(2\sin\frac{\pi}{2} - \tan\frac{\pi}{3}) =
\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot(\sqrt{3})\cdot(2 - \sqrt{3}) = \boxed{\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}}
\]

Ответ: \(\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}\).

2. Теперь перейдем ко второй задаче: решить уравнение \(\sin(2x) = 1\cdot\cos(x)\cdot\cos(2x) + \sin(x)\cdot\sin(2x) = 0\).

Мы видим, что у нас есть произведение и сумма синусов и косинусов. Давайте попробуем преобразовать это уравнение, используя тригонометрические тождества.

Мы знаем такие тождества:

- \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
- \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)
- \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)

Подставим эти значения в уравнение:

\[
2\sin(x)\cos(x) = 1\cdot\cos(x)\cdot(\cos^2(x) - \sin^2(x)) + \sin(x)\cdot(2\sin(x)\cos(x))
\]

Давайте упростим это уравнение:

\[
2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)\cdot(\cos^2(x) - \sin^2(x)) + 2\sin^2(x)\cos(x)
\]

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

\[
2\sin(x)\cos(x) = (\cos^3(x) - \cos(x)\sin^2(x)) + (2\sin^2(x)\cos(x))
\]

Теперь используем тригонометрическое соотношение \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), чтобы избавиться от \(\sin^2(x)\):

\[
2\sin(x)\cos(x) = \cos^3(x) - \cos(x)(1 - \cos^2(x)) + (2\sin^2(x)\cos(x))
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
2\sin(x)\cos(x) = \cos^3(x) - \cos(x) + \cos^3(x) + 2\sin^2(x)\cos(x)
\]

Сгруппируем похожие слагаемые:

\[
2\sin(x)\cos(x) = 2\cos^3(x) + 2\sin^2(x)\cos(x) - \cos(x)
\]

Итак, у нас получилось уравнение:

\[
2\sin(x)\cos(x) - 2\cos^3(x) - 2\sin^2(x)\cos(x) + \cos(x) = 0
\]

Упростим его дальше:

\[
\cos(x)(2\sin(x) - 2\cos^2(x) - 2\sin^2(x) + 1) = 0
\]

Теперь у нас есть два уравнения в скобках:

1. \(\cos(x) = 0\)
2. \(2\sin(x) - 2\cos^2(x) - 2\sin^2(x) + 1 = 0\)

1. Решим первое уравнение. Как мы знаем, \(\cos(x) = 0\) при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) - целое число.

2. Решим второе уравнение. Перепишем его в более удобной форме:

\[
2\sin(x) - 2\cos^2(x) - 2(1 - \cos^2(x)) + 1 = 0
\]

Упростим и решим эту квадратную уравнение:

\[
-\cos^2(x) + 2\sin(x) + 1 = 0
\]

Решение этого квадратного уравнения может быть сложным. Можно воспользоваться графиком функции и методом бисекции или другими численными методами для нахождения приближенного значения. Ответы будут конкретными числами.

3. Теперь ответим на третий вопрос. Чему равно \(\cos^2(x)\)?

Согласно основному тригонометрическому тождеству, \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Перенесем \(\sin^2(x)\) на другую сторону и получим:

\[
\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)
\]

Теперь воспользуемся формулой синуса, \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\), чтобы заменить \(\sin^2(x)\):

\[
\cos^2(x) = 1 - (1 - \cos^2(x))
\]

Упростим:

\[
\cos^2(x) = \cos^2(x)
\]

Ответ: \(\cos^2(x)\) равно \(\cos^2(x)\), что является самобытным выражением и не может быть упрощено дальше.