Каковы основные шаги для проведения исследования функции y=x^2-4x+1 и построения её графика?

Zolotoy_Gorizont

50

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей!

Для проведения исследования функции \(y = x^2 - 4x + 1\) и построения её графика, следуйте следующим основным шагам:

Шаг 1: Найдите вершину параболы.
Чтобы найти вершину параболы, используйте формулы \(x = -\frac{b}{2a}\) и \(y = f(x)\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты вашего уравнения. В данном случае, у нас \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = 1\).
Подставим эти значения в формулу и найдем \(x\)-координату вершины:
\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = -\frac{-4}{2} = 2\]
Теперь найдем \(y\)-координату вершины, подставив \(x = 2\) в исходное уравнение:
\[y = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3\]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, -3).

Шаг 2: Найдите точку пересечения графика с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения, можно решить уравнение \(y = 0\), чтобы найти точки пересечения с осью \(x\), и уравнение \(x = 0\), чтобы найти точку пересечения с осью \(y\).
Подставим \(y = 0\) в исходное уравнение и решим его относительно \(x\):
\[0 = x^2 - 4x + 1\]
Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или графический метод. В данном случае я предлагаю использовать графический метод, чтобы лучше понять, как выглядит график.
Постройте график функции \(y = x^2 - 4x + 1\). Для этого выберите несколько значений \(x\), подставьте их в уравнение и найдите соответствующие значения \(y\). Затем отметьте эти точки на графике и соедините их плавными кривыми.
Попробуем выбрать значения \(x = -2\), \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = 4\) и \(x = 6\) и найдем соответствующие значения \(y\):
Для \(x = -2\), \(y = (-2)^2 - 4(-2) + 1 = 4 + 8 + 1 = 13\)
Для \(x = 0\), \(y = (0)^2 - 4(0) + 1 = 1\)
Для \(x = 2\), \(y = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3\) (вершина параболы)
Для \(x = 4\), \(y = (4)^2 - 4(4) + 1 = 16 - 16 + 1 = 1\)
Для \(x = 6\), \(y = (6)^2 - 4(6) + 1 = 36 - 24 + 1 = 13\)
Отметьте эти точки на графике и соедините их плавными кривыми. В итоге вы должны получить график параболы.

Шаг 3: Определите, как меняется функция.
Изучите график функции, чтобы понять, как она меняется в зависимости от значения \(x\). Обратите внимание на наклон параболы и направление её выпуклости (вверх или вниз). Также обратите внимание на симметрию параболы относительно вертикальной оси, проходящей через вершину. Это поможет вам лучше понять характеристики функции и ответить на вопросы о её поведении.

Теперь вы заполнили 3 основных шага для проведения исследования функции \(y = x^2 - 4x + 1\) и построения её графика. Вы нашли вершину параболы, точки пересечения с осями координат и изучили изменение функции. Это позволит вам более глубоко понять характеристики данной функции и проиллюстрировать её графически.