Каковы стационарные точки функции f(x) = корень 3 sin x + cos x

Елисей

38

Для решения этой задачи нам необходимо найти стационарные точки функции \(f(x) = \sqrt{3}\sin x + \cos x\). Стационарные точки — это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Для начала найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{3}\sin x + \cos x)\]

Чтобы найти производную сложной функции, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования для суммы двух функций и правилом дифференцирования для произведения функций.

Применим первое правило к слагаемым \(\sqrt{3}\sin x\) и \(\cos x\):
\[\frac{d}{dx}(\sqrt{3}\sin x + \cos x) = \sqrt{3}\frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(\cos x)\]

Теперь найдем производные функций \(\sin x\) и \(\cos x\) по отдельности.
\[\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\]
\[\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\]

Подставим найденные значения производных обратно в предыдущее выражение:
\[\frac{d}{dx}(\sqrt{3}\sin x + \cos x) = \sqrt{3}\cos x - \sin x\]

Мы нашли производную функции \(f(x)\). Теперь нам нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Чтобы найти значения \(x\), при которых \(\frac{d}{dx}(\sqrt{3}\sin x + \cos x) = 0\), приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0\]

Для удобства решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Преобразуем уравнение:
\[\sqrt{3}\cos x = \sin x\]
\[\tan x = \sqrt{3}\]
\[x = \arctan\sqrt{3}\]

Итак, мы нашли стационарную точку функции \(f(x)\) при \(x = \arctan\sqrt{3}\).

Теперь давайте проведем проверку, чтобы убедиться, что это действительно является стационарной точкой. Для этого найдем вторую производную функции \(f(x)\):
\[f""(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\sqrt{3}\sin x + \cos x)\]

Возьмем производную от \(f"(x) = \sqrt{3}\cos x - \sin x\):
\[f""(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{3}\cos x - \sin x)\]
\[f""(x) = -\sqrt{3}\sin x - \cos x\]

Теперь подставим \(x = \arctan\sqrt{3}\) во вторую производную:
\[f""(\arctan\sqrt{3}) = -\sqrt{3}\sin(\arctan\sqrt{3}) - \cos(\arctan\sqrt{3})\]

Чтобы упростить выражение, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Рассмотрим треугольник со сторонами 1, \(\sqrt{3}\) и 2:
\(\sin(\arctan\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos(\arctan\sqrt{3}) = \frac{1}{2}\)

Подставим найденные значения в выражение для второй производной:
\[f""(\arctan\sqrt{3}) = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2\]

Вторая производная равна -2, что является отрицательным числом. Это означает, что точка \(x = \arctan\sqrt{3}\) является максимумом функции \(f(x)\).

Таким образом, у нас есть одна стационарная точка: \(x = \arctan\sqrt{3}\), которая является максимумом функции \(f(x) = \sqrt{3}\sin x + \cos x\).